Η αποδεικτική μέθοδος του "Αρκεί"

[chris_gatos]

Καλησπέρα σας.
Ρωτάω αν υπάρχει σε κάποιο σχολικό βιβλίο η αποδεικτική μέθοδος του "Αρκεί".
Εγώ έψαξα αλλά δεν συναντήθηκα με αυτήν. Δεν παύω όμως να είμαι άνθρωπος
και αυτήν την εποχή αρκετά κουρασμένος.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων για όποια πιθανή υπόδειξη.

[makisman]

Χρηστο σε μία γρήγορη αναζήτηση στο γκουγκλ βρήκα στα μαθηματικά γ λυκείου εφαρμογή σελ 190.

[Μπάμπης Στεργίου]

Καλησπέρα σας.
Ρωτάω αν υπάρχει σε κάποιο σχολικό βιβλίο η αποδεικτική μέθοδος του "Αρκεί".
Εγώ έψαξα αλλά δεν συναντήθηκα με αυτήν. Δεν παύω όμως να είμαι άνθρωπος
και αυτήν την εποχή αρκετά κουρασμένος.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων για όποια πιθανή υπόδειξη.

Χρήστο, αν και κάτι υποψιάζομαι, τι ακριβώς είναι αυτό που σε προβληματίζει; Η... ''μέθοδος του αρκεί '' υπάρχει σε όλα τα βιβλία, είτε το λένε είτε όχι.Η χρήση όλων των ικανών προτάσεων είναι στην ουσία η μέθοδος που λες και δεν βλέπω κανέναν λόγο αυτό να αποτελεί ειδική μέθοδο.

Το ''αρκεί '' είναι πολύ συχνή έκφραση στις αποδείξεις και ποτέ δεν μου πέρασε από το μυαλό ότι θέλει ειδική αναφορά ως μέθοδος. Αλλά πες μας τι σκέφτεσαι και τα ξαναλέμε !

Μπ

[S.E.Louridas]

Επιτρέψτε μου μία άποψη:
Η αναλυτική μέθοδος απόδειξης υπάρχει (προφανώς και το ξέρει ο Χρήστος, αλλά σίγουρα ... δεν πρόκειται για αυτό) και είναι βασική μέθοδος (μπορεί να την βρει κανείς παντού, π.χ. στις γενικές αποδεικτικές μεθόδους στο βιβλίο του Γιάννη Ντάνη σελίδα 11) και μάλιστα είναι ας το πούμε η «ισχυρή» μέθοδος απόδειξης ανισοτήτων, προφανώς και όχι μόνο. Είναι δε σαφές ότι δεν έχει να κάνει με την Ανάλυση (ή σκέψη) που είναι ένα σύνολο εικασιών κάποιες εκ των οποίων οδηγούν στην λιτή αλλά ακριβή συνθετική αποδεικτική μέθοδο που σε πολλές περιπτώσεις αν δεν έχει προηγηθεί η Ανάλυση που λέγαμε «φαντάζει» ως αποτέλεσμα στυλ magical combinations. Για την Αναλυτική λοιπόν μέθοδο: Αν θέλουμε να αποδείξουμε την πρόταση «Αν ... τότε », αρκεί να δημιουργήσουμε μία σειρά από ικανές συνθήκες ως εξής: Θέλουμε να αποδείξουμε την πρόταση , ισχυούσης της πρότασης , αρκεί να δημιουργήσουμε μία πρόταση ώστε να έχουμε Αν η διαπιστωθεί αληθής ανεξάρτητα της συνθήκης τελειώσαμε, αν δεν γνωρίζουμε ότι η είναι αληθής τότε αρκεί να δημιουργήσουμε μία πρόταση ώστε κτλ έως ότου καταλήξουμε ... σε μία πρόταση που είναι αληθής ανεξάρτητα από την ισχύ των προηγούμενων ικανών τελικά σχέσεων και που έπονται από την , τότε ακολουθώντας την αντίστροφη πορεία έχουμε την αλήθεια της πρότασης «Αν ... τότε ». Το «άγιο» τώρα ρήμα αρκεί μας συντομεύει την διαδικασία και μας απεγκλωβίζει από μία ίσως «χρονοβόρα» φορμαλιστική διαδικασία επιστροφής. Προφανώς και η μέθοδος ας πούμε του "αρκεί" δεν βλάπτει την Μαθηματική λογική της διαδικασίας της παραγωγής διαδοχικά ικανών συνθηκών ακρίβεια.
Σε κάποιες περιπτώσεις κάνουμε κάποιες λεκτικές απλοποιήσεις για μεγαλύτερες ταχύτητες παρουσίασης μίας αυστηρής Μαθηματικής διαδικασίας επιλύσεις. Για παράδειγμα έχουμε σε σοβαρά ξενόγλωσσα Μαθηματικά επίσημα μάλιστα βιβλία (π.χ. στο THOMAS Απειροστικός Λογισμός σελίδα 100) την αναφορά στην santwich method ή της shell method και άλλες τέτοιες υπερβάσεις όταν δεν χάνεται η Μαθηματική υπόσταση της επίλυσης, αντιθέτως σε πολλές περιπτώσεις διευκολύνουν.

[Σίλης]

Αυτό που λέει ο Στεργίου βασικά. Θές να δείξεις οτι ισχύει . Γνωρίζοντας (ή δεχόμενος) οτι , λές οτι «αρκεί να δείξεις ». Για παράδειγμα, θέλοντας να δείξουμε οτι όλοι οι φυσικοί μοιράζονται μιά ιδιότητα, μπορούμε βάσει της επαγωγής, την οποία δεχόμαστε, να λέμε «αρκεί να το δείξουμε για το μηδέν και επιπλέον να δείξουμε οτι κάθε αριθμός κληροδοτεί την ιδιότητα στον επόμενό του» (η επαγωγή λέει ακριβώς οτι τότε θα έχει την ιδιότητα κάθε αριθμός). Κάποιες φορές βέβαια δέν γνωρίζουμε (ούτε και δεχόμαστε ως υπόθεση ή αξίωμα) οτι , άρα πρέπει τυπικά να το δείξουμε κι αυτό με τη σειρά του, ωστόσο ενδέχεται να θεωρείται εύκολο άρα και παραλειπτέο απ' τον εκάστοτε συζητητή/δάσκαλο/βιβλίο...

Πέρ' απ' αυτά όμως, υπάρχει και άλλη μία χρήση του αρκεί στην μαθηματική καθομιλουμένη, που δανείζεται θά 'λεγα τη σημασία της απ' την ευρύτερη καθομιλουμένη. Είναι η χαλαρή χρήση κατα την οποία εννοούμε οτι «εντάξει, έχουμε τυπικά να δείξουμε πενηνταδύο περιπτώσεις, αλλα αρκεί να δείξουμε καναδυό για να πειστούμε, καθώς οι άλλες είναι εύκολες/παρόμοιες/γνωστές/βαρετές...» Σε τέτοιες περιπτώσεις προφανώς είναι καλό ν' αποφεύγει κανείς αυτήν τη λέξη, εκτός κι αν ξέρει οτι μιλάει με την αδελφή ψυχή του.

[chris_gatos]

Καλησπέρα. Μάλλον δεν ήμουν σαφής.
Εγώ δεν είπα πως δεν ισχύει, φυσικά και ισχύει, φυσικά και είναι εξαιρετική και τη χρησιμοποιώ κι εγώ πάρα πολλές φορές.
Η ερώτηση μου είχε να κάνει με το αν παρουσιάζεται ως αποδεικτική μέθοδος σε κάποιο σημείο στα σχολικά βιβλία.
Π.χ η απαγωγή σε άτοπο. η ευθεία απόδειξη παρουσιάζεται στο σχολικό βιβλίο της Αλγεβρας Α'Λυκείου. η μέθοδος του αρκεί;;;
Αυτό ρώτησα και πλέον πιστεύω να είναι ξεκάθαρο!

[vittasko]

Νομίζω ότι δεν ξεχωρίζεται το "αρκεί", ως αποδεικτική μέθοδος.

'Οπως αναφέρει και ο Σωτήρης πιο πάνω, το "αρκεί", είναι βασικό στοιχείο της αναλυτικής αποδεικτικής μεθόδου. Η αναλυτική αποδεικτική μέθοδος δηλαδή, δουλεύει με το "αρκεί".

Κώστας Βήττας.

[chris_gatos]

Κώστα και η ευθεία απόδειξη είναι κάτι προφανές (ξεκινάω από τα δεδομένα μου και καταλήγω στο συμπέρασμα) μα αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο.

[S.E.Louridas]

Άρα τελικά Χρήστο μπαίνει το ερώτημα: Ποιες μεθόδους απόδειξης αναφέρουν τα σχολικά βιβλία και αν ανάμεσα σε αυτές που αναφέρουν υπάρχει και η " Αναλυτική Μέθοδος Απόδειξης". Και αν δεν αναφέρεται μήπως τελικά εννοείται σαν η πλέον προφανής μέθοδος;
Π.χ. Να αποδειχθεί για τους πραγματικούς ότι
Λύση: Για να αποδείξουμε ότι για τους πραγματικούς ισχύει αρκεί να ισχύει αφού από αυτή προκύπτει η αρχική, αρκεί , αφού αυτή είναι ικανή για τη προηγούμενη, αρκεί αφού είναι ικανή για την προηγούμενη. Όμως η είναι αληθής άρα και η είναι αληθής. Τώρα θεωρώ ότι ο Χρήστος μάλλον ίσως ρωτά: Μήπως αντί της παραπάνω διαδικασίας θα έπρεπε χωρίς το ρήμα «Αρκεί» να συνδέουμε τις σχέσεις με το δημιουργώντας τις ισοδύναμες σχέσεις και να τελειώναμε κάτι που όμως αναφέρει ως αποδεικτική διαδικασία το βιβλίο; Η απάντηση είναι Ναι αρκεί να εξασφαλίζεται σε κάθε βήμα η ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ (έστω και αν βέβαια υπάρχει το «ψιλορίσκο» αν κάπου «σπάει» η ισοδυναμία ο μαθητής να την «πατήσει»). Ας πούμε λοιπόν ότι η μέθοδος «Αρκεί» απεγκλωβίζει τον λύτη από τον φόβο μήπως κάπου «σπάσει» η ισοδυναμία.

(*) Με τα εισαγωγικά στο παραπάνω κείμενο μου να έχουν τοποθετηθεί ενσυνείδητα.

[chris_gatos]

Σωτήρη μαζί σου εννοείται πως ισχύει, μα υπάρχουν απόψεις μαθηματικών που λένε πως ότι χρησιμοποιούμε
πρέπει να υπάρχει ως ύλη στα σχολικά βιβλία. Έτσι λοιπόν αφού δεν αναφέρεται ρητά στα σχολικά βιβλία
σύμφωνα πάντα με αυτήν την άποψη και όχι τη δική μου δεν πρέπει να χρησιμοποιείται. Βέβαια ακόμη και αυτοί
που έχουν αυτές τις απόψεις, ξεφεύγουν και την χρησιμοποιούν προτείνοντας την εφαρμογή της παρότι, επαναλαμβάνω, δεν αναφέρεται και δεν προτείνεται πουθενά.
Με λίγα λόγια πρέπει να σκεφτούμε αν με τις παρεμβάσεις μας, με την πένα μας, με τα λόγια μας κάνουμε καλό ή κακό στα μαθηματικά.

[S.E.Louridas]

Πάντως ο Θόδωρος Καζαντζής Χρήστο σε μία από τις παρεμβάσεις του έλεγε: Ευτυχώς που οι δικές μας πιθανά λάθος απόψεις δεν σκοτώνουν όπως εκείνες των γιατρών.
Ναι γενικά συμφωνώ μαζί σου ότι το αίσθημα ευθύνης πρέπει να προΐσταται και όχι μόνο από τους Μαθηματικούς.

[Μπάμπης Στεργίου]

Θεωρώ πως κανένα βιβλίο δεν έχει νόημα να γράψει κάτι το ξεχωριστό για με την ''μέθοδο '' του αρκεί. Δεν πρόκειται στην ουσία για μέθοδο, αλλά για άμεση χρήση και αξιοποίηση της απλής λογικής, μαθηματικής και μη.

Αν για παράδειγμα σε ένα πρόβλημα ζητηθεί να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, τότε χρησιμοποιούμε ένα από τα κριτήρια. Τα κριτήρια είναι ''ικανές προτάσεις '' και αυτό είναι το μόνο που αξιοποιείται.

Αν θέλει όμως αυτός που γράφει τη λύση να παρουσιάσει τον τρόπο σκέψης του, μπορεί να γράψει :'' Αρκεί να αποδείξουμε ότι οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. ''

Με αυτή την έννοια, κανένας δεν νομίζω ότι θα γράψει : '' Θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο του αρκεί.Θα αποδείξουμε λοιπόν ότι οι οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. ''

Δεν έχω κάτι περισσότερο να πω, αν και ξέρω ότι τον φίλο μου τον Χρήστο κάτι πιο βαθύ τον απασχολεί, δεν μπορώ να καταλάβω όμως τι είναι αυτό. Ίσως ο

προβληματισμός του να ξεκίνησε από τον τρόπο λύσης μερικών ανισοτήτων , που πάμε όλο με το ''αρκεί ''. Εδώ είμαστε όμως να τα ξαναπούμε !

Μπ.

[chris_gatos]

Μπάμπη αυτό που έχω καταλάβει είναι πως ως μαθηματικοί χρησιμοποιούμε ανά την περίπτωση άλλα μέτρα κι άλλα σταθμά.
Αλλιώς απαντάμε όταν μιλάει ένας αλλιώς όταν μιλάει άλλος.
Φυσικά και δε θεωρώ υποχρέωση κάποιου βιβλίου να αναφέρει τη μέθοδο του "αρκεί", άλλοι θέτουν όμως ως προϋπόθεση πως
ότι χρησιμοποιείται στην επίλυση ασκήσεων να αναφέρεται ρητά στο σχολικό βιβλίο. Επομένως πρέπει να προσέχουμε τι λέμε τι προτείνουμε και ποιές θέσεις παίρνουμε όταν βγαίνουμε προς τα έξω και κάνουμε κριτική κτλ.
Με λίγα λόγια πρέπει να προσέχουμε να μην αυτοαναιρούμαστε, ειδικά όταν απευθυνόμαστε και σε παιδιά. Φυσικά και δεν αναφέρομαι σε κανέναν από όσους εξέφρασαν
πολύ σωστά την αποψή τους σε αυτήν τη δημοσίευση. Θα ξανατοποθετηθώ εν καιρώ.
Καλό βράδυ.

[Μπάμπης Στεργίου]

Υπάρχουν πολλά θέματα που μας απασχολούν στα σχολικά μαθηματικά , πολλές ίσως ελλείψεις ή ασάφειες των σχολικών βιβλίων - ίσως πάντα έτσι να είναι -

αλλά νομίζω ότι στην συγκεκριμένη περίπτωση δεν γίνεται απολύτως καμία εισαγωγή ....καινών δαιμονίων που ανοίγει νέες μορφές ασκήσεων και περαιτέρω

βασανισμού των μαθητών, ειδικά στην Γ' Λυκείου .


Ας πάρουμε ένα παράδειγμα :

Ένας μαθητής θέλει να αποδείξει ότι και αυτός αποδείκνύει αρχικά ότι . Τίθεται το ερώτημα : πρέπει ο μαθητής να κάνει επίκληση στην

''μέθοδο του αρκεί '' ή σε κάποια άλλη μέθοδο που την έχουν ή δεν την έχουν τα σχολικά βιβλία, για να πει :

'' Αρκεί στη συνέχεια να αποδείξουμε ότι , δηλαδή που ισχύει. '' ;

Πουθενά λοιπόν και από κανέναν δεν χρειάζεται να γίνει μνεία σε ''μέθοδο του αρκεί '' . Αρκεί το ''αρκεί να ....'' και αυτό είναι μια ...μέθοδος που την

χρησιμοποιεί ο άνθρωπος πριν πάει στο σχολείο. Τέτοια μέθοδος δεν μπορεί να έχει το δικό της μερίδιο, σε αυτό που λέμε

''αποδεικτικές μέθοδοι '' .

Η ''αναλυτική μέθοδος '' είναι ήδη κάτι ξεχωριστό και καλύπτει και αυτό που συζητάμε. Αλλά την αναλυτική μέθοδο δεν χρειάζεται κανένα βιβλίο ή

πανεπιστήμιο να την κατωχυρώσει, διότι είναι απλή, κατανοητή και βασίζεται στους ήδη από την αρχαιότητα γνωστούς νόμους της λογικής

συνεπαγωγής ( μόνο που η αρχική πρόταση αναζητείται ) . Η μέθοδος της απαγωγής σε άτοπο είναι μια άλλη ιστορική και τεράστιας σημασίας για την

ανάπτυξη των μαθηματικών μέθοδος που την εφάρμοσε με τόση επιτυχία ο Αρχιμήδης στο έργο του ''κύκλου μέτρησις '' και σημάδεψε τις επόμενες χιλιετίες στα

μαθηματικά.

Να συμπληρώσω ότι το προηγούμενο μήνυμα το έγραψα πριν διαβάσω τα τελευταία τρία μηνύματα. Τώρα ξέρω πια την ένσταση του Χρήστου , την κατανοώ,

θεωρώ όμως ότι δεν υπάρχει κανένας λόγος ανησυχίας.

Στην πρώτη ευκαιρία θα τα πούμε και από κοντά και αυτό μου δίνει μεγάλη χαρά , διότι ο Χρήστος συχνά ...ξετρυπώνει ωραία ερωτήματα.

Μπ

[chris_gatos]

Τώρα ξέρω πια την ένσταση του Χρήστου , την κατανοώ,

θεωρώ όμως ότι δεν υπάρχει κανένας λόγος ανησυχίας.

Στην πρώτη ευκαιρία θα τα πούμε και από κοντά και αυτό μου δίνει μεγάλη χαρά , διότι ο Χρήστος συχνά ...ξετρυπώνει ωραία ερωτήματα.

Μπ

Μπάμπη δεν ανησυχώ για τίποτα και ξέρω πολύ καλά τι λέω. Απλά κάποιοι πρεσβύτεροι, σοφότεροι πρέπει πριν γράψουν ή πουν οτιδήποτε
να σκέπτονται το κακό που πρόκειται να προκαλέσουν. Και φυσικά όταν επιλέξουν να κυριολεκτούν να μην αυτοαναιρούνται.

[Σίλης]

Κρίς γάτος, θα είχες τις ίδιες ενστάσεις με τη "μέθοδο του καί", τη "μέθοδο του ή" ή τη "μέθοδο του για κάθε" και τη "μέθοδο του υπάρχει";

[chris_gatos]

Κύριε Σίλη δεν έχετε καταλάβει για τι ακριβώς ενίσταμαι ή θέλετε να πάτε
τα πράγματα εκεί που επιθυμείτε.
Στέκομαι απλά στην εμφανίσή σας τώρα όπως και τον Ιούνη με
τη χρήση της διακρίνουσας.
Απαραίτητη προϋπόθεση για να σας απαντήσω θα είναι να γνωρίζω
με ποιόν συνομιλώ. Έχω αυτό το δικαίωμα όπως κι εσείς φυσικά να γράφετε ανώνυμα.
Ως τότε, καλημέρα σας.

[S.E.Louridas]

Καλημέρα:
Θεωρώ τελικά ότι ο Χρήστος δεν βάζει θέμα τόσο για μία μαθηματική μέθοδο επίλυσης που προφανώς γνωρίζει. Θέτει το θέμα: γιατί να μην χρησιμοποιούμε απλά και αποδεκτά μαθηματικά βήματα μαθηματικής σκέψης χωρίς το άγχος για το αν υπάρχουν ή όχι επακριβώς στα επίσημα βιβλία; Η βαπτισθείσα από εμάς «μέθοδος του αρκεί» (που είναι ουσιαστικά η μέθοδος που εξασφαλίζει την δημιουργία διαδοχικά ικανών συνθηκών με στόχο την κατάληξη σε αληθή πρόταση με την αλήθεια της να μην εξαρτάται από την προς απόδειξη, για να μην εμπαίσουμε σε κάνα φαύλο κύκλο) και καλώς για να συνεννοηθούμε, γιατί θα έπρεπε για να εφαρμοστεί να τύχει της έγκρισης του βιβλίου; Αφού εντάσσεται στα πλαίσια της γενικότερης διαδικασίας σκέψης και κακώς κάποιοι θα την απέρριπταν κακοπροαίρετα αφού δεν υπάρχει ρητά στο βιβλίο. Για παράδειγμα θα μπορούσαμε να πούμε: Για να πάμε αύριο στο θέατρο ΑΡΚΕΙ να συναντηθούμε η παρέα κάπου ώστε να πάμε με ένα αυτοκίνητο. Προσωπικά πιστεύω ότι τα Μαθηματικά πρέπει να αναδύουν ελευθερία σκέψης χωρίς τον φόβο της αποτυχίας μίας λογικής σκέψης. Δηλαδή στα Μαθηματικά πρέπει να προσέχουμε αλλά όχι να φοβόμαστε. Άρα όποιος ενσπείρει Μαθηματικό φόβο σημαίνει ότι ο ίδιος είχε φοβηθεί κάποτε και λόγω φόβου άρχισε να προσέχει. Αντίθετα υπάρχει και ο άλλος που άρχισε να προσέχει επειδή δεν ήθελε να χαλάσει την ομορφιά που αισθανόταν όταν έλυνε ένα Μαθηματικό θέμα σκεπτόμενος ελεύθερα και λογικά. Και μη ξεχνάμε ότι τα δικά μας λάθη δεν σκοτώνουν, όπως εκείνα των γιατρών και μόνο όταν οδηγούν σε απόφαση επί του πρακτέου πάνω σε μία ζωή. Και μη ξεχνάμε ότι καλό και υπολογίσιμο είναι το Μαθηματικό ον που εκτός των άλλων έχει αποκτήσει τα αντανακλαστικά να κάνει σωστή διαχείριση της πιθανής λάθος σκέψης που μπορεί να κάνει κατά την διαδικασία του Μαθηματικού «ψαξίματος», ώστε να οδηγηθεί στην σωστή. Ας μη ξεχνάμε ότι η πανίσχυρη μέθοδος απόδειξης την Απαγωγής σε Άτοπο είναι η μέθοδος διαπίστωσης της αλήθειας μέσω απόρριψης υπόθεσης που οδηγεί σε λάθος. Δηλαδή τεχνικά οδηγούμαστε σε άτοπο (λάθος) άρα ισχύει τελικά μέσω της διαπίστωσης του λάθους το σωστό. Τα Μαθηματικά αναδεικνύουν αξίες μεταξύ αξιών. Καλό μαθηματικό ον δεν είναι ο λαθοθήρας (αυτός και αν κινδυνεύει να εκτεθεί) που προφανώς είναι κακό μαθηματικό ον, αλλά εκείνος που εκτός των άλλων εξηγεί κύρια μέσα του το πιθανό λάθος που γίνεται και μετά ψάχνοντας βρίσκει την διαδρομή προς το σωστό.

[Α.Αποστόλου]

Καλησπέρα σας.
Ρωτάω αν υπάρχει σε κάποιο σχολικό βιβλίο η αποδεικτική μέθοδος του "Αρκεί".
Εγώ έψαξα αλλά δεν συναντήθηκα με αυτήν. Δεν παύω όμως να είμαι άνθρωπος
και αυτήν την εποχή αρκετά κουρασμένος.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων για όποια πιθανή υπόδειξη.

Η λέξη "αρκεί", εμφανίζεται από τα βιβλία της Α'.
Μπορούμε να την δούμε σε διάφορες περιπτώσεις στις λύσεις εντός των βοηθημάτων που δίνονται,
ακόμα αν θέλετε και στην Γεωμετρία. Χαρακτηριστική περίπτωση το βιβλίο καθηγητή Γεωμετρίας.

Δεν είναι μέθοδος απόδειξης σε καμία περίπτωση, είναι μια εξήγηση αυτού που διατυπώνει λύση για το τι θέλει να κάνει παρακάτω.
Καθαρά οργανωτική διάταξη για να παρουσιάσει την ακολουθούμενη διαδικασία, η οποία (θεωρώ) στον ορεξάτο αναγνώστη ενεργοποιεί την
διάθεση να σκεφτεί το γιατί.

Ανάποδα τώρα, στην περίπτωση που ο λύτης είναι εξεταζόμενος μαθητής, αν έχει εντοπίσει ορθώς την ισοδύναμη πρόταση που παράγει το ζητούμενο συμπέρασμα,
η αξίωση να διατυπώσει ρητά την τυπική απόδειξη του ισχυρισμού αυτού,
πέρα από τον τυπολατρικό μαθηματικό βαυκαλισμό δεν εξυπηρετεί κάτι άλλο.

Αν επιτρέπεται, στο ίδιο κλίμα -αν έχω καταλάβει σωστά- μια ερώτηση και από μένα.
Αναφέρεται κάπου ότι στην επίλυση μιας άσκησης μεταξύ των διαδοχικών βημάτων αυτής είναι αναγκαστική η χρήση των συμβόλων
της συνεπαγωγής ή της ισοδυναμίας; Ας πούμε κατά την επίλυση μιας εξίσωσης.

[chris_gatos]

Καλημέρα:
Θεωρώ τελικά ότι ο Χρήστος δεν βάζει θέμα τόσο για μία μαθηματική μέθοδο επίλυσης που προφανώς γνωρίζει. Θέτει το θέμα: γιατί να μην χρησιμοποιούμε απλά και αποδεκτά μαθηματικά βήματα μαθηματικής σκέψης χωρίς το άγχος για το αν υπάρχουν ή όχι επακριβώς στα επίσημα βιβλία;

Σωτήρη, εν μέσω μαθημάτων, ΝΑΙ
αυτό ακριβώς είναι το πνεύμα μου.

Δεν είναι μέθοδος απόδειξης σε καμία περίπτωση, είναι μια εξήγηση αυτού που διατυπώνει λύση για το τι θέλει να κάνει παρακάτω.

κ.Αποστόλου Θα διαφωνήσω καθέτως μαζί σας. Το επιχείρημά μου βρίσκεται ---->εδώ
στη σελίδα , παράγραφος όπου ο ειδήμων της μαθηματικής λογικής κ. Αντώνης Κυριακόπουλος γράφει "Η μέθοδος του αρκεί"
Ως μέθοδος λοιπόν επιμένω πως δεν αναφέρεται σε κανένα σχολικό βιβλίο, όπως η ευθεία απόδειξη ή η απαγωγή σε άτοπο στις οποίες γίνεται ιδαίτερη μνεία.
Θα επανέλθω με περισσότερα επιχειρήματα για όλα αυτά που γράφω και στο τέλος θα αποδείξω πως τελικά πρέπει να κοιτάξουμε πως αντί να κάνουμε τους έξυπνους να βοηθήσουμε να γίνει το μάθημα των μαθηματικών πιό εύχρηστο και να το αγαπήσει ο μαθητής.