Συνθήκη για συνέχεια

sot arm · #1

Δεν ξέρω αν είναι γνωστή πρόταση, πάντως την συνάντησα σαν άσκηση και μου φάνηκε ενδιαφέρουσα:

Έστω $\displaystyle{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}$ θεωρούμε τα σύνολα:

$\displaystyle{A= \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} : y<f(x)\}\,,\; B=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} : y>f(x)\}}$

Να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής αν και μόνον αν και το Α και το Β είναι ανοιχτά.

Πηγή: Από του Tom Apostol, το Μathematical Αnalysis

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.
Νομίζω ότι το αποτέλεσμα έχει μεγάλο ενδιαφέρον.

Christos.N · #3

Βρίσκεται επίσης στο βιβλίο του Carothers, Real Analysis σελ 65 ασκ 7 .

mikemoke · #4

sot arm έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 17, 2018 12:56 pm
Δεν ξέρω αν είναι γνωστή πρόταση, πάντως την συνάντησα σαν άσκηση και μου φάνηκε ενδιαφέρουσα:

Έστω $\displaystyle{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}$ θεωρούμε τα σύνολα:

$\displaystyle{A= \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} : y<f(x)\}\,,\; B=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} : y>f(x)\}}$

Να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής αν και μόνον αν και το Α και το Β είναι ανοιχτά.

Πηγή: Από του Tom Apostol, το Μathematical Αnalysis

H πρόταση

συνεχής $\Leftrightarrow$ A,B

ανοιχτά
είναι ισοδύναμη με την
1)

συνεχής $\Rightarrow$ A,B

ανοιχτά και 2)

ασυνεχής $\Rightarrow$ ένα τουλάχιστον εκ των A,B

δεν είναι ανοιχτό

1) Έστω σημείον $X(x_0,y_0) \in \mathbb{R}^{2}$ με $y_0\neq f(x_0)$ .
Θεωρούμε δίχως βλάβη γενικότητας ότι y_0 < f(x_0)

. Άρα $X \in A$
και $\forall x \in \mathbb{R} d(x)=\sqrt{(x-x_0)^2 +(f(x)-y_0)^2}$
$\lim_{x\to +\infty}d(x)=+\infty$ και $\lim_{x\to -\infty}d(x)=+\infty$ και $d(x)\geq 0 \forall x\in\mathbb{R}$
$y_0\neq f(x_0)$ άρα $\nexists x\in \mathbb{R}:f(x)=y_0$
Από αυτά έχουμε ότι $d(x)\geq \varphi >0$

Έστω ανοιχτός δίσκος

κέντρου

και ακτίνας $\varphi$
Έστω τυχαίο σημείο $M (x_M,y_M) \in C$
τότε $x_M\in (x_0-\varphi ,x_0+\varphi )$
και $y_M\in(y_0-\sqrt{\varphi ^2-(x-x_0)^2},y_0+\sqrt{\varphi ^2-(x-x_0)^2})$
Άρα $C\subseteq A$ Άρα

ανοιχτό .Ομοίως για

2)Aν

ασυνεχής στο $\mathbb{R}$ τότε $\exists \xi \in \mathbb{R}$ τέτοια ώστε

ασυνεχής στο $\xi$

Αν $\exists \left \{ b_n \right \}$ με $b_n\rightarrow \xi$ και $\lim_{n \to \infty}f(b_n)=+\infty$ (ή και $-\infty$ )
τότε έστω σημείο $N(\xi ,y_n) \in B \Rightarrow y_n>f(\xi )$
Έστω δίσκος $D(N,\epsilon )$ για τυχαίο $\epsilon >0$
τότε $\exists k\in(\xi -\epsilon ,\xi +\epsilon ):f(k)>y_n+\epsilon$
αλλά τότε $(A\cap (x=k))\cap D(N,\epsilon )\neq \varnothing$ για τυχαίο $\epsilon$ άρα $\forall \epsilon > 0$
Άρα το

δεν είναι ανοιχτό

Αλλιώς $\exists \left \{ A_n \right \}$ με $A_n\rightarrow \xi$ και $|f(A_n)|\leq a$
$f(A(\mathbb{N}))$ φραγμένο και περιέχει άπειρα σημεία .Άρα απο Bolzano-Weierstrass υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσης.
Άρα $\exists \left \{ a_n \right \}n\in\mathbb{N}$ επιλογή της A_n

τέτοια ώστε $a_n\rightarrow \xi$
και $\lim_{n \to \infty}f(a_n)\rightarrow \eta \in R$
Με $\eta \neq f(\xi )$ και δίχως βλάβη γενικότητας $\eta <f(\xi )$
Άρα $K(\xi ,\eta )\in A$
Έστω

ανοιχτό .Άρα $\exists$ ανοιχτός δίσκος

ακτίνας $\epsilon >0$
ώστε $C'\subseteq A$ και $d_{K,f}(x)\geq \epsilon \forall x\in \mathbb{R}$
όπου $d_{K,f}(x)=\sqrt{(x-\xi )^2+(f(x)-\eta)^2} \forall x\in\mathbb{R}$
Aλλά $\lim_{n \to \infty}d_{K,f}(a_n)=0$
ΑΤΟΠΟ

sot arm · #5

Βάζω και εγώ την δικιά μου αντιμετώπιση στο θέμα,

για την μία κατεύθυνση έστω ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ , τότε η γραφική της παράσταση είναι κλειστό υποσύνολο του επιπέδου,άρα περιέχει όλα τα οριακά της σημεία.
έστω τυχαίο σημείο $\displaystyle{X(x_{0},y_{0}) \in A}$ υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει δίσκος

κέντρου

ακτίνας

έτσι ώστε $D\subseteq A$ έπεται ότι
$\displaystyle{\forall \epsilon >0 , \exists (x_{k},f(x_{k})) \in C_{f} , (x_{k},f(x_{k}) \in D(A;\epsilon)}$
Δηλαδή το Α είναι οριακό σημείο της $C_{f}$ Άρα αφού η $C_{f}$ είναι κλειστό σύνολο το Α ανήκει στην γραφική παράσταση της

, άτοπο
Ομοίως και για τυχόν σημείο του Β και τελειώσαμε.

Για την άλλη κατεύθυνση,

Αρχικά ισχύει το εξής αφού A,B

ανοιχτά η ένωση τους είναι ανοιχτό σύνολο, γνωστή πρόταση, άρα το συμπλήρωμα τους είναι κλειστό, δηλαδή η $C_{f}$ κλειστό.

έστω $\displaystyle{x_{0}}$ τυχαίο θα δείξω ότι η f είναι συνεχής σε αυτό.
Έστω:
$(x_n) \in \mathbb{R}, x_{n} \rightarrow x_0$
Θεωρούμε ένα σημείο $A(x_{0},y_{1}) \in A$ τότε αφού είναι ανοικτό υπάρχει δίσκος $D_{1}$ κέντρου

ακτίνας $r_{1}$ ώστε $D_{1}\subseteq A$ ομοίως θεωρώ το σημείο $B(x_{0},y_{2}) \in B$ υπάρχει δίσκος D_2(B;r_2)

ώστε $D_{2}\subseteq B$ θέτω $\delta = min\{r_{1},r_{2}}/$

Αρκεί να εξετάσω την σύγκλιση της ακολουθίας f(x_n)

στην γειτονία $(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta)$ .
Στην γειτονία αυτή η $f(x_{n})$ φράσεται και ανωτέρω και κατωτέρω από τους παραπάνω δίσκους.
Μπορώ συνεπώς να ορίσω το σύνολο των οριακών σημείων της $f(x_{n})$

Το $limsup f(x_{n})$ είναι το $f(x_{0})$ γιατί αφού υπάρχει ακολουθία σημείων της $c_{f}$ που να τείνουν σε αυτό και η $C_{f}$ κλειστό ανήκει στην $C_{f}$ και αφού $x_{n} \rightarrow x_{0}$ το σημείο αυτό είναι κατ'ανάγκη στο $f(x_{0})$ ομοίως για το $liminf f(x_{n})=f(x_{0})$ άρα $f(x_{n})\rightarrow f(x_{0})$
και τελειώσαμε, από αρχή μεταφοράς.

Συνθήκη για συνέχεια

Συνθήκη για συνέχεια

Re: Συνθήκη για συνέχεια

Re: Συνθήκη για συνέχεια

Re: Συνθήκη για συνέχεια

Re: Συνθήκη για συνέχεια

Μέλη σε σύνδεση