Σειρά με Lucas

Tolaso J Kos · #1

Ας δηλώσουμε με L_n

τον

-οστό αριθμό Lucas που ορίζεται ως L_0=2

,

και για κάθε $n \geq 2$ ισχύει $\displaystyle L_{n} =L_{n-1} + L_{n-2}$ . Υπολογίσατε τη σειρά:

$\displaystyle \mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \arctan \left ( \frac{L_{n+1}^2}{1+L_n L_{n+1}^{2}L_{n+2}} \right )$

dement · #2

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle \frac{L_{n+1}^2}{1 + L_n L_{n+1}^2 L_{n+2}} = \frac{L_{n+2}L_{n+1} - L_{n+1}L_n}{1 + (L_n L_{n+1})(L_{n+1} L_{n+2})}$

Έτσι $\displaystyle \tan^{-1} \left( \frac{L_{n+1}^2}{1 + L_n L_{n+1}^2 L_{n+2}} \right) = \tan^{-1} (L_{n+2}L_{n+1}) - \tan^{-1} (L_{n+1}L_n)$ .

Τηλεσκοπικά, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \tan^{-1} \left( \frac{L_{n+1}^2}{1 + L_n L_{n+1}^2 L_{n+2}} \right) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} 3$ .

Σειρά με Lucas

Σειρά με Lucas

Re: Σειρά με Lucas

Μέλη σε σύνδεση