Άνω όριο ακολουθίας

#1

Να βρεθούν φυσικοί αριθμοί

για τους οποίους η ακολουθία $\alpha_n=\big\lfloor{2\sin(mn)}\big\rfloor\,,\; n\in\mathbb{N}\,,$ έχει $\limsup\alpha_n=1$ , όπου $\lfloor{\cdot}\rfloor$ το ακέραιο μέρος.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το να βρεθούν όλοι οι αριθμοί

με την παραπάνω ιδιότητα, το θεωρώ φιλόδοξο. Και δεν είμαι σίγουρος ότι για αυτήν την περίπτωση έχω πλήρη λύση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 31, 2017 1:59 am
Να βρεθούν φυσικοί αριθμοί για τους οποίους η ακολουθία $\alpha_n=\big\lfloor{2\sin(mn)}\big\rfloor\,,\; n\in\mathbb{N}\,,$ έχει $\limsup\alpha_n=1$ , όπου $\lfloor{\cdot}\rfloor$ το ακέραιο μέρος.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το να βρεθούν όλοι οι αριθμοί με την παραπάνω ιδιότητα, το θεωρώ φιλόδοξο. Και δεν είμαι σίγουρος ότι για αυτήν την περίπτωση έχω πλήρη λύση.

Νομίζω πως όλοι κάνουν.

Γράφουμε $m=2\pi k+\upsilon ,k\in \mathbb{Z},0< \upsilon < 2\pi$

Ετσι $nm=2k\pi n+n\upsilon =n\upsilon(mod2\pi )$

Τα $n\upsilon$ είναι πυκνά στον κύκλο

αφου το $\upsilon$ δεν είναι ρητό πολλαπλάσιο του $2\pi$ .
Το αποτέλεσμα είναι άμεσο.

Άνω όριο ακολουθίας

Άνω όριο ακολουθίας

Re: Άνω όριο ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση