Απόλυτα συγκλίνουσα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\left\{a_n\right\}_{n \in \mathbb{N}}$ μία ακολουθία πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε η σειρά $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ να συγκλίνει. Αποδείξατε ότι και η σειρά
$\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}}$ συγκλίνει και μάλιστα απόλυτα.

Θέμα εξετάσεων!

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Από την $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq ab$ για $a=|a_{n}|$ και $b=\frac{1}{n}$ παίρνουμε

$\frac{|a_{n}|}{n}\leq \frac{1}{2} (a_{n})^{2}+\frac{1}{2} \frac{1}{n^{2}} .$

Άρα

$\sum \frac{|a_{n}|}{n}\leq \frac{1}{2}\sum (a_{n})^{2}+\frac{1}{2}\sum \frac{1}{n^{2}}<+\infty .$

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 25, 2017 11:02 pm
Έστω $\left\{a_n\right\}_{n \in \mathbb{N}}$ μία ακολουθία πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε η σειρά $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ να συγκλίνει. Αποδείξατε ότι και η σειρά
$\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}}$ συγκλίνει και μάλιστα απόλυτα.

Άμεσο από $\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N} \left | \frac{a_n}{n}}\right | \le \sqrt { \sum_{n=1}^{N} a_n^2} \, \sqrt { \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^2}}$ , το οποίο είναι φραγμένο.

Απόλυτα συγκλίνουσα

Απόλυτα συγκλίνουσα

Re: Απόλυτα συγκλίνουσα

Re: Απόλυτα συγκλίνουσα

Μέλη σε σύνδεση