Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3049
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08
Να εξετασθεί ως προς την σημειακή και την ομοιόμορφη σύγκλιση η σειρά
στο διάστημα .
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08
Θα δείξουμε ότι συγκλίνει κατά σημείο αλλά όχι ομοιόμορφα στο .
Για , θέτω . Τότε και . Από την ανισότητα Bernoulli, έχω . (Η φορά είναι σωστή επειδή .)
Άρα
Άρα η συγκλίνει.
Έστω προς άτοπο ότι η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη. Άρα υπάρχει φυσικός ώστε για κάθε .
Θέτω . Τότε και άρα
Οπότε άτοπο.
Για , θέτω . Τότε και . Από την ανισότητα Bernoulli, έχω . (Η φορά είναι σωστή επειδή .)
Άρα
Άρα η συγκλίνει.
Έστω προς άτοπο ότι η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη. Άρα υπάρχει φυσικός ώστε για κάθε .
Θέτω . Τότε και άρα
Οπότε άτοπο.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08
Επιπλέον ερώτημα.
Να αποδειχθεί ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στα συμπαγή υποσύνολα
του
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3049
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08
Χωρίς να διαφέρει ουσιαστικά από την λύση του Δημήτρη... (έχει και δυο σημεία στα οποία θα "χωρούσε" αποδείξεις, τις οποίες αντιπαρέρχομαι).
Για κάθε ισχύει
Επειδή έπεται ότι, για κάθε , η ακολουθία μερικών αθροισμάτων της είναι φραγμένη. Λόγω της έπεται ότι και η ακολουθία μερικών αθροισμάτων της είναι φραγμένη. Επειδή η είναι και αύξουσα, έπεται ότι η σειρά συγκλίνει κατά σημείο στο διάστημα .
Για κάθε ισχύει
Επειδή , ώστε και
έπεται ότι η δεν συγκλίνει ομοιόμορφα στο .
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3049
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τρί Νοέμ 14, 2017 3:31 pmΕπιπλέον ερώτημα.
Να αποδειχθεί ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στα συμπαγή υποσύνολα του
Για την ακολουθία
για κάθε ισχύει
Επομένως η ισχύει και για κάθε συμπαγές υποσύνολο του με άκρα τα και .
Επίσης, για κάθε :
- για ισχύει
- ενώ για ισχύει
Σε κάθε περίπτωση ισχύει
όπου σταθερά που προσδιορίζεται πλήρως από τις παραπάνω περιπτώσεις. Άρα η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του .
Σημείωση: Οι ανισότητες που χρησιμοποιήθηκαν μπορούν να αποδειχθούν εύκολα. Τις αφήνουμε σαν άσκηση.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες