Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

S3i
Δημοσιεύσεις: 26
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 20, 2015 4:26 pm

Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από S3i » Παρ Αύγ 11, 2017 11:26 pm

Θα ήθελα να μου επισημάνετε τυχόν λάθη στις παρακάτω ασκήσεις.
Ν.Δ.Ο αν x\in \left ( 0,\pi /2 \right )
sin(x)\geq  \frac{2x}{\pi }.
Θέτω f(x)= sin(x)- \frac{2x}{\pi } ,f :\left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]\rightarrow \Re
Παρατηρώ ότι f(0)=f(\frac{\pi }{2})=0
Αν υπήρχε ρίζα της f στο (0,π/2) τότε θα υπήρχαν 2 ρίζες στην f' λόγω Θ.Rolle.Τότε θα υπήρχε μια ρίζα της f'' στο (0,π/2) λόγω Θ.Rolle.Aτοπο,αφού f''(x)=-sin(x) <0 \forall x \in (0,\frac{\pi }{2}).Άρα f(x)\neq 0 \forall x\in(0,\pi /2),άρα η f διατηρεί πρόσημο.f(\pi /4) > 0
Έχουμε το ζητούμενο.



Λέξεις Κλειδιά:
S3i
Δημοσιεύσεις: 26
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 20, 2015 4:26 pm

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από S3i » Παρ Αύγ 11, 2017 11:55 pm

Εστω f:(a,b) \rightarrow \mathbb{R} ,παραγωγισιμη με \lim_{x\rightarrow b^{-}}f(x)= +\infty.
Ν.Δ.Ο αν \alpha \in \mathbb{R} τότε \lim_{x\rightarrow b^{-}}f'(x)\neq \alpha.
Έστω ότι \lim_{x\rightarrow b^{-}}f'(x)= \alpha για κάποιο α. Εστω ε=1>0,τότε υπάρχει δ>0 ώστε αν x\in(b-\delta,\delta) τότε f'(x)<\alpha+1.Εφαρμόζω Θ.Μ.Τ στο [b-δ,x] και έχω ότι f(χ)<f(b-δ)+(1+α)(χ-b-δ).Άτοπο από υπόθεση.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1269
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Αύγ 11, 2017 11:59 pm

S3i έγραψε:Θα ήθελα να μου επισημάνετε τυχόν λάθη στις παρακάτω ασκήσεις.
Ν.Δ.Ο αν x\in \left ( 0,\pi /2 \right )
sin(x)\geq  \frac{2x}{\pi }.
Θέτω f(x)= sin(x)- \frac{2x}{\pi } ,f :\left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]\rightarrow \Re
Παρατηρώ ότι f(0)=f(\frac{\pi }{2})=0
Αν υπήρχε ρίζα της f στο (0,π/2) τότε θα υπήρχαν 2 ρίζες στην f' λόγω Θ.Rolle.Τότε θα υπήρχε μια ρίζα της f'' στο (0,π/2) λόγω Θ.Rolle.Aτοπο,αφού f''(x)=-sin(x) <0 \forall x \in (0,\frac{\pi }{2}).Άρα f(x)\neq 0 \forall x\in(0,\pi /2),άρα η f διατηρεί πρόσημο.f(\pi /4) > 0
Έχουμε το ζητούμενο.


Σωστός είσαι.
Το αποτέλεσμα είναι γνωστό και πολύ χρήσιμο.Υπάρχουν αρκετές αποδείξεις.
Στην ουσία χρησιμοποίησες ότι η συνάρτηση είναι κοίλη όποτε παίρνει το ελάχιστο σε
κάποιο άκρο του διαστήματος.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1269
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Αύγ 12, 2017 12:11 am

S3i έγραψε:Εστω f:(a,b) \rightarrow \mathbb{R} ,παραγωγισιμη με \lim_{x\rightarrow b^{-}}f(x)= +\infty.
Ν.Δ.Ο αν \alpha \in \mathbb{R} τότε \lim_{x\rightarrow b^{-}}f'(x)\neq \alpha.
Έστω ότι \lim_{x\rightarrow b^{-}}f'(x)= \alpha για κάποιο α. Εστω ε=1>0,τότε υπάρχει δ>0 ώστε αν x\in(b-\delta,\delta) τότε f'(x)<\alpha+1.Εφαρμόζω Θ.Μ.Τ στο [b-δ,x] και έχω ότι f(χ)<f(b-δ)+(1+α)(χ-b-δ).Άτοπο από υπόθεση.


Γράψε το σωστά.Ολα σε tex.Η ιδέα είναι σωστή.Η διατύπωση χρειάζεται βελτίωση.Χώρια που δεν φαίνεται καθαρά.


S3i
Δημοσιεύσεις: 26
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 20, 2015 4:26 pm

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από S3i » Σάβ Αύγ 12, 2017 12:38 am

Έστω \epsilon = 1 > 0
τότε \exists \delta >0
ώστε αν x\in (b -\delta ,b)\Rightarrow \alpha -1<f'(x)<\alpha +1
Θ.Μ.Τ στο \left [ b-\delta ,x \right ]\Rightarrow \alpha -1<\frac{f(x)-f(b-\delta )}{x-b+\delta }<\alpha +1
f(x)<(1+\alpha)(x-b+\delta )+f(b-\delta )<(1+\alpha )(2\delta -b)+f(b-\delta )=M
Από υπόθεση για το Μ έχω οτι \exists \delta _1 > 0
ωστε αν x\in (b-\delta_1,b)\Rightarrow f(x)\geq M
Άτοπο.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1269
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Αύγ 12, 2017 12:48 am

S3i έγραψε:Έστω \epsilon = 1 > 0
τότε \exists \delta >0
ώστε αν x\in (b -\delta ,b)\Rightarrow \alpha -1<f'(x)<\alpha +1
Θ.Μ.Τ στο \left [ b-\delta ,x \right ]\Rightarrow \alpha -1<\frac{f(x)-f(b-\delta )}{x-b+\delta }<\alpha +1
f(x)<(1+\alpha)(x-b+\delta )+f(b-\delta )<(1+\alpha )(2\delta -b)+f(b-\delta )=M
Από υπόθεση για το Μ έχω οτι \exists \delta _1 > 0
ωστε αν x\in (b-\delta_1,b)\Rightarrow f(x)\geq M
Άτοπο.


Σωστότατος και ωραία διατύπωση.


S3i
Δημοσιεύσεις: 26
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 20, 2015 4:26 pm

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από S3i » Σάβ Αύγ 12, 2017 1:04 am

Έστω f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}
συνεχής στο [a,b],παραγωγισιμη στο (a,b) με f(a)=f(b).
Ν.Δ.Ο \exists x_1\neq x_2\in (a,b) \Rightarrow f'(x_1)+f'(x_2)= 0
Θ.Μ.Τ στα \left [ a,\frac{a+b}{2} \right ] ,\left [ \frac{a+b}{2},b \right ]\Rightarrow \exists x_1,x_2 \Rightarrow f'(x_1)+f'(x_2)=\frac{f(\frac{a+b}{2})-f(a)}{\frac{b-a}{2}}+\frac{f(b)-f(\frac{a+b}{2})}{\frac{b-a}{2}}=0


S3i
Δημοσιεύσεις: 26
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 20, 2015 4:26 pm

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από S3i » Σάβ Αύγ 12, 2017 1:06 am

Ευχαριστώ πολύ για την βοήθεια,θα συνεχίσω αύριο γιατί δεν με κρατάνε τα μάτια μου αλλο. Καλο σας βράδυ!


S3i
Δημοσιεύσεις: 26
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 20, 2015 4:26 pm

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από S3i » Σάβ Αύγ 12, 2017 10:10 pm

Έστω f(x) : [a,b) \rightarrow \mathbb{R} παραγωγισιμη ,
Ν.Δ.Ο \exists (\xi _n)\in (a,b)\Rightarrow \lim_{n}f'(\xi _n)=f'(a)
Λίγη βοήθεια εδω. Σκεφτηκα το θεώρημα νταρμπου,μιας και αν η f'(x) ήταν συνεχής από Α.Μ θα χα με εύκολα το ζητούμενο αλλά ίσως μια ιδιότητα της συνέχειας να είναι αρκετή. Κατι λείπει ώμος :wallbash: .


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1269
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Αύγ 12, 2017 11:01 pm

S3i έγραψε:Έστω f(x) : [a,b) \rightarrow \mathbb{R} παραγωγισιμη ,
Ν.Δ.Ο \exists (\xi _n)\in (a,b)\Rightarrow \lim_{n}f'(\xi _n)=f'(a)
Λίγη βοήθεια εδω. Σκεφτηκα το θεώρημα νταρμπου,μιας και αν η f'(x) ήταν συνεχής από Α.Μ θα χα με εύκολα το ζητούμενο αλλά ίσως μια ιδιότητα της συνέχειας να είναι αρκετή. Κατι λείπει ώμος :wallbash: .


Υπόδειξη.

Πάρε x_{n}\rightarrow a πχ x_{n}=a+\frac{1}{n}
εφάρμοσε ΘΜΤ κτλ


S3i
Δημοσιεύσεις: 26
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 20, 2015 4:26 pm

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από S3i » Σάβ Αύγ 12, 2017 11:16 pm

Εστω \chi _n \rightarrow a
Θ.Μ.Τ στο \left [a, \chi _n \right ]\forall n\in\mathbb{N}\Rightarrow f'(\xi _n)=\frac{f(\chi _n)-f(a)}{\chi _n-a}\underset{n}{\rightarrow}f'(a) λόγω Α.Μ. Σωστά?


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1269
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Αύγ 12, 2017 11:34 pm

S3i έγραψε:Εστω \chi _n \rightarrow a
Θ.Μ.Τ στο \left [a, \chi _n \right ]\forall n\in\mathbb{N}\Rightarrow f'(\xi _n)=\frac{f(\chi _n)-f(a)}{\chi _n-a}\underset{n}{\rightarrow}f'(a) λόγω Α.Μ. Σωστά?


Αν Α.Μ σημαίνει αρχή μεταφοράς η απόδειξη είναι σωστή.
Δεν είναι καλογραμμένη η διατύπωση.


S3i
Δημοσιεύσεις: 26
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 20, 2015 4:26 pm

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από S3i » Κυρ Αύγ 13, 2017 12:01 am

Εννοω οτι \forall x_n
Θ.Μ.Τ στο \left [ a,x_1 \right ]...\left [ a,x_n \right ]
ώστε να ορίσω επαγωγικά την (\xi_n).



Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες