Ομοιόμορφη σύγκλιση δυναμοσειράς
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3049
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Ομοιόμορφη σύγκλιση δυναμοσειράς
Το θέμα: Έστω μια συνάρτηση , ορισμένη και άπειρες φορές παραγωγίσιμη στο με , και (ομοιόμορφα). Αν η δυναμοσειρά συγκλίνει στο κλειστό και
τότε ισχύει ότι (ομοιόμορφα);
Νομίζω ότι η απάντηση είναι καταφατική, αλλά πώς μπορούμε να την αιτιολογήσουμε;
τότε ισχύει ότι (ομοιόμορφα);
Νομίζω ότι η απάντηση είναι καταφατική, αλλά πώς μπορούμε να την αιτιολογήσουμε;
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ομοιόμορφη σύγκλιση δυναμοσειράς
Αν η δυναμοσειρά συγκλίνει στο κλειστό διάστημα τότε συγκλίνει ομοιόμορφα (αφού συγκλίνει ομοιόμορφα στο ανοικτό) και έτσι θα διατηρηθεί η συνέχεια, οπότε έχουμε το αποτέλεσμα.
Νομίζω όμως πως δεν χρειάζεται να υποθέσουμε τη σύγκλιση στο κλειστό διάστημα. Με δεδομένη την ομοιόμορφη σύγκλιση στο ανοικτό πιστεύω έπεται η σύγκλιση στο κλειστό με ένα επιχείρημα παρόμοιο με αυτό για την απόδειξη της διατήρησης της συνέχειας στην ομοιόμορφη σύγκλιση.
Νομίζω όμως πως δεν χρειάζεται να υποθέσουμε τη σύγκλιση στο κλειστό διάστημα. Με δεδομένη την ομοιόμορφη σύγκλιση στο ανοικτό πιστεύω έπεται η σύγκλιση στο κλειστό με ένα επιχείρημα παρόμοιο με αυτό για την απόδειξη της διατήρησης της συνέχειας στην ομοιόμορφη σύγκλιση.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3049
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Ομοιόμορφη σύγκλιση δυναμοσειράς
Ευχαριστώ Δημήτρη για την άμεση απάντηση, την οποία θεωρώ πλήρη.dement έγραψε:Αν η δυναμοσειρά συγκλίνει στο κλειστό διάστημα τότε συγκλίνει ομοιόμορφα (αφού συγκλίνει ομοιόμορφα στο ανοικτό) και έτσι θα διατηρηθεί η συνέχεια, οπότε έχουμε το αποτέλεσμα.
Νομίζω όμως πως δεν χρειάζεται να υποθέσουμε τη σύγκλιση στο κλειστό διάστημα. Με δεδομένη την ομοιόμορφη σύγκλιση στο ανοικτό πιστεύω έπεται η σύγκλιση στο κλειστό με ένα επιχείρημα παρόμοιο με αυτό για την απόδειξη της διατήρησης της συνέχειας στην ομοιόμορφη σύγκλιση.
Το έναυσμα για την ερώτηση προήλθε από εδώ.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ομοιόμορφη σύγκλιση δυναμοσειράς
Η ομοιόμορφη σύγκλιση της σειράς στο
δίνει όλα τα άλλα.Παραθέτω τα σχετικά θεωρήματα.Το (1)είναι αυτό που χρειάζεται.
Για απλότητα και άλλους λόγους υποθέτω ότι .
1)Εστω
Η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη αν και μόνο αν οι σειρές
συγκλίνουν
Σε αυτή την περίπτωση η
ορίζεται είναι συνεχής και ενώ
2)Σχετικό είναι ένα θεώρημα του Littlewood
Αν όπου
(Δηλαδή η σειρά είναι Abel αθροίσιμη )
και επιπλέον (δηλαδή )
τότε η σειρά συγκλίνει.
δίνει όλα τα άλλα.Παραθέτω τα σχετικά θεωρήματα.Το (1)είναι αυτό που χρειάζεται.
Για απλότητα και άλλους λόγους υποθέτω ότι .
1)Εστω
Η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη αν και μόνο αν οι σειρές
συγκλίνουν
Σε αυτή την περίπτωση η
ορίζεται είναι συνεχής και ενώ
2)Σχετικό είναι ένα θεώρημα του Littlewood
Αν όπου
(Δηλαδή η σειρά είναι Abel αθροίσιμη )
και επιπλέον (δηλαδή )
τότε η σειρά συγκλίνει.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες