Αρμονικό άθροισμα 07-07-2017

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1820
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα
Επικοινωνία:

Αρμονικό άθροισμα 07-07-2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Σεραφείμ » Κυρ Ιούλ 16, 2017 4:48 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Ας δηλώσουμε με \mathcal{G} τη σταθερά Catalan και με \mathcal{H}_n το n-οστό αρμονικό όρο. Δειχθήτω:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{\mathcal{H}_{4n-3}}{4n-3} - \frac{\mathcal{H}_{4n-2}}{4n-2} \right ) = \frac{\pi^2}{64} + \frac{\pi \log 2}{32} + \frac{\mathcal{G}}{2}- \frac{3 \log^2 2 }{16} - \frac{3 \pi \log 2}{32}}

(Cornel Ioan Valean)


Στην μνήμη του ανηψιού μου, Μάνου Μαλλιάρα, 19 χρονών .. σίγουρα θα του άρεσε .. Έφυγε στις 07-07-2017 (την ώρα περίπου που αναρτήθηκε το παρόν από τον Τόλη viewtopic.php?f=9&t=59222 ) .. πρωτοετής φοιτητής της Μαθηματικής Σχολής του ΑΠΘ ..

Λήμμα 1: \displaystyle{\frac{{{H_n}}}{n} =  - \int\limits_0^1 {{x^{n - 1}}\log \left( {1 - x} \right)dx} } αποδείχθηκε εδώ viewtopic.php?f=9&t=27979&p=136404#p136404

Λήμμα 2: \displaystyle{\int\limits_0^1 {\frac{{\log x}}{{x - a}}dx}  = L{i_2}\left( {\frac{1}{a}} \right)} διότι
\displaystyle{\int\limits_0^1 {\frac{{\log x}}{{x - a}}dx}  =  - \frac{1}{a}\int\limits_0^1 {\frac{{\log x}}{{1 - \frac{x}{a}}}dx}  =  - \frac{1}{a}\int\limits_0^1 {\log x\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty  {\frac{{{x^n}}}{{{a^n}}}} } \right)dx}  = } \displaystyle{ - \frac{1}{a}\sum\limits_{n = 0}^\infty  {\frac{1}{{{a^n}}}\int\limits_0^1 {{x^n}\log x\;dx} }  = \frac{1}{a}\sum\limits_{n = 0}^\infty  {\frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} \cdot {a^n}}} = } L{i_2}\left( {\frac{1}{a}} \right)}

Λήμμα 3: \displaystyle{L{i_2}\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} - \frac{{{{\log }^2}2}}{2}} , διότι από εδώ http://functions.wolfram.com/ZetaFuncti ... owAll.html (Euler 1768) ισχύει
\displaystyle{L{i_2}\left( z \right) = L{i_2}\left( {1 - z} \right) - \log \left( z \right)log\left( {1 - z} \right) + \frac{{{\pi ^2}}}{6}} και για \displaystyle{z = \frac{1}{2}} έχουμε το ζητούμενο.

Λήμμα 4: \displaystyle{L{i_2}\left( { - i} \right) =  - i \cdot G - \frac{{{\pi ^2}}}{{48}}} , διότι \displaystyle{L{i_2}\left( { - i} \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - i} \right)}^n}}}{{{n^2}}}}  = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{i^{2n}}}}{{{{\left( {2n} \right)}^2}}}}  - \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{i^{2n - 1}}}}{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2}}}}  = } \displaystyle{\frac{1}{4}\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}}  + i\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2}}}}  =  - i \cdot G - \frac{{{\pi ^2}}}{{48}}}

Λήμμα 5: \displaystyle{L{i_2}\left( i \right) = i \cdot G - \frac{{{\pi ^2}}}{{48}}} , διότι .. ομοίως

Λήμμα 6: \displaystyle{L{i_2}\left( {\frac{1}{{1 - i}}} \right) = \frac{{5{\pi ^2}}}{{96}} - \frac{{{{\log }^2}2}}{8} + i\left( {G - \frac{{\pi \log 2}}{8}} \right)} , διότι από εδώ http://functions.wolfram.com/ZetaFuncti ... owAll.html
γνωρίζουμε ότι \displaystyle{L{i_2}\left( z \right) =  - L{i_2}\left( {\frac{z}{{z - 1}}} \right) - \frac{1}{2}{\log ^2}\left( {1 - z} \right)} , οπότε για \displaystyle{z = \frac{1}{{1 - i}}} , προκύπτει \displaystyle{L{i_2}\left( {\frac{1}{{1 - i}}} \right) =  - L{i_2}\left( { - i} \right) + \frac{{{\pi ^2}}}{{32}} - \frac{{{{\log }^2}2}}{8} - \frac{{i \cdot \pi  \cdot \log 2}}{8}}
και από το Λήμμα 5, έχουμε το ζητούμενο

Λήμμα 7: \displaystyle{L{i_2}\left( {\frac{1}{{1 + i}}} \right) = \frac{{5{\pi ^2}}}{{96}} - \frac{{{{\log }^2}2}}{8} - i\left( {G - \frac{{\pi \log 2}}{8}} \right)} , διότι .. ομοίως


Στο θέμα μας.

\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\frac{{{H_{4n - 3}}}}{{4n - 3}} - \frac{{{H_{4n - 2}}}}{{4n - 2}}} \right)} \mathop  = \limits^{\left[ 1 \right]} \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( { - \int\limits_0^1 {{x^{4n - 4}}\log \left( {1 - x} \right)dx}  + \int\limits_0^1 {{x^{4n - 3}}\log \left( {1 - x} \right)dx} } \right)} } \displaystyle{ =  - \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\int\limits_0^1 {{x^{4n - 4}}\left( {1 - x} \right)\log \left( {1 - x} \right)dx} }  = }

\displaystyle{ =  - \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {1 - x} \right)\log \left( {1 - x} \right)}}{{{x^4}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{x^{4n}}} } \right)dx}  =  - \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {1 - x} \right)\log \left( {1 - x} \right)}}{{1 - {x^4}}}dx}  = } \displaystyle{ - \int\limits_0^1 {\frac{{\log \left( {1 - x} \right)}}{{\left( {1 + x} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}dx}  =  - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{\log \left( {1 - x} \right)}}{{x + 1}}dx}  + }

\displaystyle{ + \frac{{1 + i}}{4}\int\limits_0^1 {\frac{{\log \left( {1 - x} \right)}}{{x - i}}dx}  + \frac{{1 - i}}{4}\int\limits_0^1 {\frac{{\log \left( {1 - x} \right)}}{{x + i}}dx} \mathop { =  =  =  =  =  = }\limits^{1 - x \to x} \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{\log x}}{{x - 2}}dx} } \displaystyle{ - \frac{{1 + i}}{4}\int\limits_0^1 {\frac{{\log x}}{{x - \left( {1 - i} \right)}}dx}  - \frac{{1 - i}}{4}\int\limits_0^1 {\frac{{\log x}}{{x - \left( {1 + i} \right)}}dx} \mathop  = \limits^{\left[ 2 \right]} }

\displaystyle{ = \frac{1}{2}L{i_2}\left( {\frac{1}{2}} \right) - \frac{{1 + i}}{4}L{i_2}\left( {\frac{1}{{1 - i}}} \right) - \frac{{1 - i}}{4}L{i_2}\left( {\frac{1}{{1 + i}}} \right)\mathop  = \limits^{\left[ {3,4..,7} \right]} \frac{{{\pi ^2}}}{{24}} - } \displaystyle{\frac{{{{\log }^2}2}}{4} - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1 - i}}L{i_2}\left( {\frac{1}{{1 - i}}} \right) + \frac{1}{{1 + i}}L{i_2}\left( {\frac{1}{{1 + i}}} \right)} \right) = }

\displaystyle{ = \frac{{{\pi ^2}}}{{24}} - \frac{{{{\log }^2}2}}{4} - \frac{1}{{2\left( {1 - i} \right)}}\left( {\frac{{5{\pi ^2}}}{{96}} - \frac{{{{\log }^2}2}}{8} + i\left( {G - \frac{{\pi \log 2}}{8}} \right)} \right) - } \displaystyle{\frac{1}{{2\left( {1 + i} \right)}}\left( {\frac{{5{\pi ^2}}}{{96}} - \frac{{{{\log }^2}2}}{8} - i\left( {G - \frac{{\pi \log 2}}{8}} \right)} \right) \Rightarrow }

\displaystyle{ \Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\frac{{{H_{4n - 3}}}}{{4n - 3}} - \frac{{{H_{4n - 2}}}}{{4n - 2}}} \right)}  = \frac{{{\pi ^2}}}{{64}} + \frac{G}{2} - \frac{{3{{\log }^2}2}}{{16}} - \frac{{\pi \log 2}}{{16}}} :cry: :cry:



Σεραφείμ Τσιπέλης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2815
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Αρμονικό άθροισμα 07-07-2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Tolaso J Kos » Κυρ Ιούλ 16, 2017 7:00 pm

Σεραφείμ έγραψε:
:cry: :cry:



Σεραφείμ,

ευχαριστώ και ... συλληπητήρια .. !!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες