Ἰδιάζον μέτρο μὲ φορέα τὸ σύνολο Cantor

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 518
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Ἰδιάζον μέτρο μὲ φορέα τὸ σύνολο Cantor

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Γ.-Σ. Σμυρλής » Κυρ Ιούλ 09, 2017 7:49 pm

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω C τὸ σύνολο Cantor. Ὑπενθυμίζεται ὅτι
\displaystyle{
C = \bigcap_{n\in\mathbb N} I_n,
}
ὅπου
\displaystyle{I_1=[0,1/3]\cup[2/3]=I_{1,1}\cup I_{1,2},}
\displaystyle{I_2=[0,1/9]\cup [2/9,1/3]\cup [2/3,7/9]\cup[8/9,1]=I_{2,1}\cup I_{2,2}\cup I_{2,3}\cup I_{2,4},}
καί γενικότερα
\displaystyle{I_n=\cup_{j=1}^{2^n} I_{n,j}}
ὅπου ἕκαστο τῶν I_{n,j} ἀποτελεῖ κλειστό διάστημα μήκους 1/3^n.

Νὰ ἀποδειχθεῖ ὅτι ὑπάρχει θετικὸ μέτρο Borel \mu, μὲ φορέα τὸ C, ὥστε
\displaystyle{
\mu(I_{n,k})=2^{-n},
}
διὰ κάθε n\in\mathbb N, καὶ k=1,\ldots,2^n.


ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Τὸ \mu ἀποτελεῖ ἰδιάζον μέτρο ὡς πρὸς τὸ μέτρο Lebesgue, καὶ ἰσχύει ὅτι \mu(\{x\})=0, διὰ κάθε x.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1240
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ἰδιάζον μέτρο μὲ φορέα τὸ σύνολο Cantor

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιούλ 10, 2017 12:12 pm

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω C τὸ σύνολο Cantor. Ὑπενθυμίζεται ὅτι
\displaystyle{
C = \bigcap_{n\in\mathbb N} I_n,
}
ὅπου
\displaystyle{I_1=[0,1/3]\cup[2/3]=I_{1,1}\cup I_{1,2},}
\displaystyle{I_2=[0,1/9]\cup [2/9,1/3]\cup [2/3,7/9]\cup[8/9,1]=I_{2,1}\cup I_{2,2}\cup I_{2,3}\cup I_{2,4},}
καί γενικότερα
\displaystyle{I_n=\cup_{j=1}^{2^n} I_{n,j}}
ὅπου ἕκαστο τῶν I_{n,j} ἀποτελεῖ κλειστό διάστημα μήκους 1/3^n.

Νὰ ἀποδειχθεῖ ὅτι ὑπάρχει θετικὸ μέτρο Borel \mu, μὲ φορέα τὸ C, ὥστε
\displaystyle{
\mu(I_{n,k})=2^{-n},
}
διὰ κάθε n\in\mathbb N, καὶ k=1,\ldots,2^n.


ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Τὸ \mu ἀποτελεῖ ἰδιάζον μέτρο ὡς πρὸς τὸ μέτρο Lebesgue, καὶ ἰσχύει ὅτι \mu(\{x\})=0, διὰ κάθε x.




Αν δεν κάνω λάθος είναι το μέτρο που δίνει η συνάρτηση του Cantor
https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_function


Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 518
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Re: Ἰδιάζον μέτρο μὲ φορέα τὸ σύνολο Cantor

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Γ.-Σ. Σμυρλής » Κυρ Ιούλ 16, 2017 12:53 pm

Πράγματι τὸ ζητούμενο μέτρο \mu σχετίζεται μὲ τὴν συνάρτηση Cantor f(x), καὶ ἰσχύει ὅτι \mu(a,b)=f(b)-f(a).

Ἕνας ἄλλος τρόπος νὰ ὁρισθεῖ εἶναι ὡς weak star ὅριο τῶν μέτρων \mu_n, ὅπου
\displaystyle{
\mu_n(E)=\frac{3^n}{2^n}\ell(E\cap I_n),
}
μὲ
\displaystyle{
I_1=[0,1/3]\cup[2/3,1],\quad I_2=[0,1/9]\cup[2/9,1/3]\cup [2/3,7/9]\cup[8/9,1],\quad\ldots,
}
καθὼς τὰ προσεσημασμένα μέτρα ἐπὶ τοῦ [0,1] ἀποτελοῦν τὸν δυϊκὸ τοῦ C[0,1].



Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες