Πολλαπλό γενικευμένο

Tolaso J Kos · #1

Υπολογίσατε το πολλαπλό ολοκλήρωμα:
$\displaystyle{\mathcal{M} = \bigints_0^{\infty} \bigints_0^\infty \cdots \bigints_0^\infty \frac{\prod \limits_{m=1}^{n} \cos (x_m)}{\sum \limits_{m=1}^{n} x_m} \, {\rm d}(x_1, x_2, \dots, x_n)}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε:Υπολογίσατε το πολλαπλό ολοκλήρωμα: $\displaystyle{\mathcal{M} = \bigints_0^{\infty} \bigints_0^\infty \cdots \bigints_0^\infty \frac{\prod \limits_{m=1}^{n} \cos (x_m)}{\sum \limits_{m=1}^{n} x_m} \, {\rm d}(x_1, x_2, \dots, x_n)}$

Με μετασχηματισμούς Laplace

$\displaystyle{\int\limits_0^\infty {\left( {\int\limits_0^\infty {\left( {\int\limits_0^\infty {..\int\limits_0^\infty {\frac{{\cos {x_1} \cdot \cos {x_2} \cdot .. \cdot \cos {x_n}}}{{{x_1} + {x_2} + .. + {x_n}}}d{x_n}} ..d{x_3}} } \right)d{x_2}} } \right)d{x_1}} = }$

$\displaystyle{ = \int\limits_0^\infty {\left( {\int\limits_0^\infty {\left( {\int\limits_0^\infty {..\int\limits_0^\infty {\cos {x_1} \cdot \cos {x_2} \cdot .. \cdot \cos {x_n} \cdot \left( {\int\limits_0^\infty {{e^{ - \left( {{x_1} + {x_2} + .. + {x_n}} \right)w}}dw} } \right)d{x_n}} ..d{x_3}} } \right)d{x_2}} } \right)d{x_1}} = }$

$\displaystyle{ = \int\limits_0^\infty {\left( {\left( {\int\limits_0^\infty {\cos {x_1} \cdot {e^{ - {x_1} \cdot w}}d{x_1}} } \right) \cdot \left( {\int\limits_0^\infty {\cos {x_2} \cdot {e^{ - {x_2} \cdot w}}d{x_2}} } \right) \cdot .. \cdot \left( {\int\limits_0^\infty {\cos {x_n} \cdot {e^{ - {x_n} \cdot w}}d{x_n}} } \right)} \right)dw} = }$

$\displaystyle{ = \int\limits_0^\infty {{{\left( {\frac{w}{{1 + {w^2}}}} \right)}^n}dw} \mathop { = = = }\limits^{{w^2} = x} \frac{1}{2}\int\limits_0^\infty {\frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^n}}}{x^{\frac{{n - 1}}{2}}}dx} = \frac{1}{{2 \cdot \Gamma \left( n \right)}}\int\limits_0^\infty {\frac{{\Gamma \left( n \right)}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^n}}}{x^{\frac{{n - 1}}{2}}}dx} = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{{2 \cdot \Gamma \left( n \right)}}\int\limits_0^\infty {{x^{\frac{{n - 1}}{2}}}\left( {\int\limits_0^\infty {{y^{n - 1}} \cdot {e^{ - y\left( {x + 1} \right)}}dy} } \right)dx} = \frac{1}{{2 \cdot \Gamma \left( n \right)}}\int\limits_0^\infty {{y^{n - 1}}{e^{ - y}}\left( {\int\limits_0^\infty {{x^{\dfrac{{n - 1}}{2}}} \cdot {e^{ - yx}}dx} } \right)dy} = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{{2 \cdot \Gamma \left( n \right)}}\int\limits_0^\infty {{y^{n - 1}}{e^{ - y}}\frac{{\Gamma \left( {\dfrac{{n + 1}}{2}} \right)}}{{{y^{\dfrac{{n + 1}}{2}}}}}dy} = \frac{{\Gamma \left( {\dfrac{{n + 1}}{2}} \right)}}{{2 \cdot \Gamma \left( n \right)}}\int\limits_0^\infty {{y^{\dfrac{{n - 3}}{2}}}{e^{ - y}}dy} = \frac{1}{2}\frac{{\Gamma \left( {\dfrac{{n + 1}}{2}} \right)\Gamma \left( {\dfrac{{n - 1}}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( n \right)}}}$

Επειδή ο $\displaystyle{n}$ είναι φυσικός αριθμός, χωρεί και περαιτέρω επεξεργασία (με $\displaystyle{n}$ περιττό ή άρτιο) .. το αφήνω όμως έτσι για λόγους αισθητικής ..

Tolaso J Kos · #3

Βεβαίως $n \geq 2$ για τη σύγκλιση ... κάτι που ξέχασα να γράψω στην αρχική ανάρτηση...

#4

Tolaso J Kos έγραψε:Βεβαίως $n \geq 2$ για τη σύγκλιση ...

Πολλαπλό γενικευμένο

Πολλαπλό γενικευμένο

Re: Πολλαπλό γενικευμένο

Re: Πολλαπλό γενικευμένο

Re: Πολλαπλό γενικευμένο

Μέλη σε σύνδεση