Γενικευμένο 2ης-τάξης λογαριθμικό ολοκλήρωμα
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
Re: Γενικευμένο 2ης-τάξης λογαριθμικό ολοκλήρωμα
Θεωρούμε την και ολοκληρώνουμε γύρω από την καμπύλη του σχήματος. Ο κύκλος έχει ακτίνα και ο κύκλος ακτίνα . Η έχει απλούς πόλους στα με αντίστοιχα υπόλοιπα και παίρνουμε τον συνήθη κλάδο του λογαρίθμου.
καθώς
καθώς
Προσθέτοντας και παίρνοντας τα κατάλληλα όρια έχουμε
. Το τελευταίο ολοκλήρωμα ισούται με και έτσι, τελικά,
Έτσι, συνολικά το ολοκλήρωμα ισούται με . Αναλυτικά έχουμε:καθώς
καθώς
Προσθέτοντας και παίρνοντας τα κατάλληλα όρια έχουμε
. Το τελευταίο ολοκλήρωμα ισούται με και έτσι, τελικά,
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Γενικευμένο 2ης-τάξης λογαριθμικό ολοκλήρωμα
Ωραία Δημήτρη! Η δική μου προσέγγιση ήταν κάπως πιο "πρωτογενής", αν και όχι διαφορετική από την δική σου:
Θεώρησα την συνάρτηση , η οποία, ακριβώς όπως εδώ, δίνει κατευθείαν το αποτέλεσμα που βρήκες και εσύ: Ο λόγος που μετά την 1η δύναμη του λογαρίθμου στην προηγούμενη δημοσίευση, έδωσα την 2η δύναμη του λογαρίθμου εδώ, είναι o εξής:
Για την εύρεση της 3ης δύναμης του λογαρίθμου η μιγαδική συνάρτηση που δίνει "κατευθείαν" αποτέλεσμα (χωρίς να προκύπτουν επιμέρους ολοκληρώματα, όπως το ) είναι η , για την 4η δύναμη είναι η , για την 5η δύναμη είναι η , για την 6η δύναμη είναι η κ.λ.π.
Ερώτηση: Μπορούμε να βρούμε αυτούς τους συντελεστές για κάθε δύναμη του λογαρίθμου;
Ή να βρεθεί ένας αναγωγικός τύπος που δίνει την -στή δύναμη συναρτήσει προηγουμένων δυνάμεων.
(Δεν έχω βρει απάντηση...)
Θεώρησα την συνάρτηση , η οποία, ακριβώς όπως εδώ, δίνει κατευθείαν το αποτέλεσμα που βρήκες και εσύ: Ο λόγος που μετά την 1η δύναμη του λογαρίθμου στην προηγούμενη δημοσίευση, έδωσα την 2η δύναμη του λογαρίθμου εδώ, είναι o εξής:
Για την εύρεση της 3ης δύναμης του λογαρίθμου η μιγαδική συνάρτηση που δίνει "κατευθείαν" αποτέλεσμα (χωρίς να προκύπτουν επιμέρους ολοκληρώματα, όπως το ) είναι η , για την 4η δύναμη είναι η , για την 5η δύναμη είναι η , για την 6η δύναμη είναι η κ.λ.π.
Ερώτηση: Μπορούμε να βρούμε αυτούς τους συντελεστές για κάθε δύναμη του λογαρίθμου;
Ή να βρεθεί ένας αναγωγικός τύπος που δίνει την -στή δύναμη συναρτήσει προηγουμένων δυνάμεων.
(Δεν έχω βρει απάντηση...)
- Σεραφείμ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1872
- Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα
Re: Γενικευμένο 2ης-τάξης λογαριθμικό ολοκλήρωμα
Κάπως συνοπτικά, με πραγματική ανάλυση (μετασχηματισμοί Laplace) ..grigkost έγραψε:Να υπολογισθεί το
Όμως
και
και
Συμμαζεύοντας τα παραπάνω
Σεραφείμ Τσιπέλης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες