Ανισότητα με σειρές

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2821
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Ανισότητα με σειρές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Tolaso J Kos » Σάβ Μάιος 20, 2017 12:17 am

Δείξατε ότι για οποιαδήποτε θετική ακολουθία \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} ισχύει η ανισότητα

\displaystyle{\left ( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \right )^4< \pi^2 \left ( \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 \right ) \left ( \sum_{n=1}^{\infty} n^2 a_n^2 \right )}

Θεωρείστε ότι όλες οι σειρές έχουν νόημα!

Η παραπάνω ανισότητα οφείλεται στον Carlson (1905) ο οποίος απέδειξε και το αντίστοιχο για ολοκληρώματα

\displaystyle{\left ( \int_{0}^{\infty} f(x) \, {\rm d}x \right )^4  \leq \pi^2 \left ( \int_{0}^{\infty} f^2 (x) \, {\rm d}x \right ) \left ( \int_{0}^{\infty} x^2 f^2(x) \, {\rm d}x \right )}

με ισότητα να ισχύει π.χ όταν f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}. Η σταθερά , εν γένει , δε βελτιώνεται.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9362
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητα με σειρές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μάιος 20, 2017 9:31 am

Tolaso J Kos έγραψε:Δείξατε ότι για οποιαδήποτε θετική ακολουθία \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} ισχύει η ανισότητα

\displaystyle{\left ( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \right )^4< \pi^2 \left ( \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 \right ) \left ( \sum_{n=1}^{\infty} n^2 a_n^2 \right )}



Αν A και αντίστοιχα B τα δύο αθροίσματα δεξιά, έχουμε

\displaystyle{\left ( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \right )^4= \left ( \sum_{n=1}^{\infty} a_n\sqrt {An^2+B} \frac {1}{\sqrt {An^2+B}} \right )^4\le

\displaystyle{   \left ( \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2(An^2+B) \right )^2   \left ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{An^2+B} \right )^2=   \left ( A\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2n^2 + B\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 \right )^2   \left ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{An^2+B} \right )^2=

\displaystyle{   =   \left ( AB+ AB \right )^2   \left ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{An^2+B} \right )^2\le 4A^2B^2\left ( \int _0^{\infty} \frac {1}{Ax^2 +B} \, dx\right )^2=

\displaystyle {= 4A^2B^2\left ( \frac {\pi }{2\sqrt {AB}}\right )^2 = \pi^2 \left ( \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 \right ) \left ( \sum_{n=1}^{\infty} n^2 a_n^2 \right )}

Όμοια για το ολοκλήρωμα.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Μάιος 20, 2017 10:01 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2821
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα με σειρές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Tolaso J Kos » Σάβ Μάιος 20, 2017 11:40 am

Ωραία.... Ισχύει και η ισχυρότερη ανισότητα (Carlson 1935):

\displaystyle{\left ( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \right )^4 < \pi^2 \left( \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 \right ) \left[ \sum_{n=1}^{\infty} \left ( n^2 - n + \frac{3}{8} \right ) a_n^2 \right] }

Αφήνεται ως άσκηση.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης