Σύνολο 1-1 συναρτήσεων

Tolaso J Kos · #1

Η παρακάτω άσκηση στάλθηκε από ένα φίλο και δεν έχω απάντηση.

Έστω $\{a_n\}_{n \geq 1}$ μία φθίνουσα ακολουθία θετικών όρων. Χαρακτηρίστε το σύνολο (το οποίο μπορεί να είναι και κενό) όλων των 1-1

συναρτήσεων $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ για τα οποία η σειρά $\sum \limits_{n=1}^{\infty} f(n)a_n < +\infty$ . Μπορεί το σύνολο αυτό να είναι άπειρο ;

Για παράδειγμα αν $a_n=\frac{1}{n^2}$ τότε είναι γνωστή άσκηση ότι δεν υπάρχει τέτοια $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ έτσι ώστε η σειρά να συγκλίνει.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

dement · #2

Αν με 1-1 εννοούμε ενεικόνιση τότε γίνεται. Έστω, π.χ., $\displaystyle a_n \equiv \frac{1}{n^3}$ . Τότε οποιαδήποτε συνάρτηση $f(n) \equiv kn$ μας κάνει.

(Βασιζόμενοι στην ίδια αρχή μπορούμε να βρούμε και άπειρες 1-1 και επί συναρτήσεις).

Tolaso J Kos · #3

Δημήτρη το σκέφτηκα αυτό , αλλά δε ξέρω αν απαντάει στη συνολική ερώτηση η οποία ζητάει όλες τις 1-1

. Δε το χω ψάξει παραπάνω ...

Θα χαρώ να ακούσω και άλλες γνώμες !

Υ.Σ: Τώρα είδα τη σημείωση που έγραψες .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Tolaso J Kos έγραψε:Η παρακάτω άσκηση στάλθηκε από ένα φίλο και δεν έχω απάντηση.

Έστω $\{a_n\}_{n \geq 1}$ μία φθίνουσα ακολουθία θετικών όρων. Χαρακτηρίστε το σύνολο (το οποίο μπορεί να είναι και κενό) όλων των συναρτήσεων $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ για τα οποία η σειρά $\sum \limits_{n=1}^{\infty} f(n)a_n < +\infty$ . Μπορεί το σύνολο αυτό να είναι άπειρο ;

Για παράδειγμα αν $a_n=\frac{1}{n^2}$ τότε είναι γνωστή άσκηση ότι δεν υπάρχει τέτοια $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ έτσι ώστε η σειρά να συγκλίνει.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Και η πρωτότυπη άσκηση στα αγγλικά:

Given $\{a_n\}_{n \geq 1}$ sequence of decreasing positive reals, a possibly interesting question might be to determine (or characterize if possible) the set of all $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ such that $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)a_n < +\infty$ . (Of course this set might be empty, as it is in case. ) Can this set be infinite?

Καλημέρα Τόλη.
Ευτυχώς που έβαλες και το αγγλικό κείμενο.
Δεν είναι άσκηση είναι ένα ερώτημα. Από το αγγλικό κείμενο φαίνεται ότι ούτε ο συντάκτης του γνωρίζει την απάντηση.
Η Ελληνική διατύπωση απέχει έτη φωτός από την Αγγλική.
Καλό λοιπόν είναι όταν μεταφράζεις αγγλικό κείμενο να κάνεις πιστή μετάφραση.

Ως προς το ερώτημα έχω να παρατηρήσω ότι είναι ασαφές. Να χαρακτηρισθούν ως προς τι;

Νομίζω ότι είναι εύκολο να δειχθεί ότι αν υπάρχει μία τότε υπάρχουν άπειρες.

Tolaso J Kos · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Η Ελληνική διατύπωση απέχει έτη φωτός από την Αγγλική.
Καλό λοιπόν είναι όταν μεταφράζεις αγγλικό κείμενο να κάνεις πιστή μετάφραση.

Γεια σου Σταύρο,

δυστυχώς αυτό είναι ένα θέμα μου μιας και από ένα σημείο και μετά δε κατέχω τα Ελληνικά οπότε έκανα μία ελεύθερη μετάφραση που ίσως έχασε το νόημα του αρχικού μηνύματος. Γι' αυτό απολογούμαι.

Πράγματι ούτε γω ούτε ο φίλος μου έχουμε απάντηση. Η ερώτηση προήλθε από τη συζήτηση της αρχικής άσκησης δηλ. ότι δεν υπάρχει 1-1

συνάρτηση από τους φυσικούς στους φυσικούς τέτοια ώστε η σειρά $\sum \limits_{n=1}^{\infty} f(n) /n^2$ να συγκλίνει.

Σε ευχαριστώ για το σχόλιο περί της ασάφειας.

Σύνολο 1-1 συναρτήσεων

Σύνολο 1-1 συναρτήσεων

Re: Σύνολο 1-1 συναρτήσεων

Re: Σύνολο 1-1 συναρτήσεων

Re: Σύνολο 1-1 συναρτήσεων

Re: Σύνολο 1-1 συναρτήσεων

Μέλη σε σύνδεση