- Να εξετασθεί αν η ακολουθία συγκλίνει ομοιόμορφα στο .
- Να υπολογισθεί το
Ακολουθία συναρτήσεων και όριο ολοκληρώματος
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Ακολουθία συναρτήσεων και όριο ολοκληρώματος
Έστω η ακολουθία συναρτήσεων που ορίζονται ως
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ακολουθία συναρτήσεων και όριο ολοκληρώματος
i)grigkost έγραψε:Έστω η ακολουθία συναρτήσεων που ορίζονται ως
- Να εξετασθεί αν η ακολουθία συγκλίνει ομοιόμορφα στο .
- Να υπολογισθεί το
Κάθε είναι συνεχής.
Για έχουμε
Αρα για προκύπτει
Εχουμε σύγκλιση κατά σημείο στην
για
και
που δεν είναι συνεχής.
Αρα δεν έχουμε ομοιόμορφη σύγκλιση.
ii)
Εχουμε
Απο το Θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue τα ολοκληρώματα συγκλίνουν στο
Παρατήρηση.
Αν θέλουμε να αποφύγουμε το κυριαρχημένης σύγκλισης τότε πρέπει να δείξουμε ότι η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη
στο και να κάνουμε κοψίματα ραψίματα στα ολοκληρώματα.
Συμπλήρωμα.Το ολοκλήρωμα είναι
Προκύπτει αναπτύσοντας σε σειρά τον λογάριθμο και λαμβάνοντας υπ όψιν ότι
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Ακολουθία συναρτήσεων και όριο ολοκληρώματος
και κάπως διαφορετικά:
Η ακολουθία είναι ομοιόμορφα φραγμένη. Συγκεκριμένα, υπάρχει , έτσι ώστε :
Από το Θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης έχουμε ότι
Επομένως
Η ακολουθία είναι ομοιόμορφα φραγμένη. Συγκεκριμένα, υπάρχει , έτσι ώστε :
Από το Θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης έχουμε ότι
Επομένως
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες