Ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1764
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Πέμ Μαρ 09, 2017 9:51 am

Καλημέρα :logo: .

Μπορεί να υπολογιστεί το \displaystyle \int_{0}^{x}\frac{t^{2}}{(x-t)^{\frac{2}{3}}}dt;

Ευχαριστώ.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Λέξεις Κλειδιά:
ολοκλήρωμα
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3053
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία grigkost

Re: Ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Μαρ 09, 2017 10:05 am

\begin{aligned} \displaystyle \int_{0}^{x}\frac{t^{2}}{(x-t)^{\frac{2}{3}}}\,dt&\mathop{=\!=\!=\!=\!=}\limits^{\begin{subarray}{c} {u\,=\,x-t}\vspace{0.1cm}\\ {-du\,=\,dt} \\\noalign{\vspace{0.05cm}} \end{subarray}}\,-\int_{x}^{0}\frac{(x-u)^{2}}{u^{\frac{2}{3}}}\,du\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\int_{0}^{x}\frac{x^2-2xu+u^{2}}{u^{\frac{2}{3}}}\,du\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=x^2\int_{0}^{x}u^{-\frac{2}{3}}\,du-2x\int_{0}^{x}u^{\frac{1}{3}}\,du+\int_{0}^{x}u^{\frac{4}{3}}\,du\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\ldots\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\frac{27}{14}\,x^{\frac{7}{3}}\,. \end{aligned}


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Κορυφή
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1528
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Πέμ Μαρ 09, 2017 10:19 am

Έστω \displaystyle{x\in\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}} . Για \displaystyle{s\in\left[0,x\right)} έχουμε

\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{s}\dfrac{u^2}{(x-u)^{2/3}}\,\mathrm{d}u&=\left[-3\,(x-u)^{1/3}\,u^2\right]_{0}^{s}-\int_{0}^{s}(-6\,u)\,(x-u)^{1/3}\,\mathrm{d}u\\&=-3\,(x-s)\,^{1/3}\,s^2+\left[-\dfrac{3}{4}\,(x-u)^{4/3}\,6\,u\right]_{0}^{s}+\int_{0}^{s}\dfrac{9}{2}\,(x-u)^{4/3}\,\mathrm{d}u\\&=-3\,(x-s)\,^{1/3}\,s^2-\dfrac{9}{2}\,s\,(x-s)^{4/3}+\left[-\dfrac{27}{14}\,(x-u)^{7/3}\right]_{0}^{s}\\&=-3\,(x-s)\,^{1/3}\,s^2-\dfrac{9}{2}\,s\,(x-s)^{4/3}-\dfrac{27}{14}\,(x-s)^{7/3}+\dfrac{27}{4}\,(x)^{7/3}\end{aligned}}

και καθώς το \displaystyle{s\to x^{-}} , το παραπάνω ολοκήρωμα τείνει στο \displaystyle{\dfrac{27}{14}\,\sqrt[3]{x^7} .

Αν \displaystyle{x=0} , τότε το ολοκλήρωμα κάνει μηδέν.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 21 επισκέπτες