Συγκλίνει η σειρά;

Tolaso J Kos · #1

Εξετάσατε αν η σειρά
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \sin \left( \pi (2+\sqrt{3} )^n \right)}$ συγκλίνει.

#2

Tolaso J Kos έγραψε:Εξετάσατε αν η σειρά
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \sin \left( \pi (2+\sqrt{3} )^n \right)}$ συγκλίνει.

Εύκολα από το ανάπτυγμα του διωνύμου ισχύει $\displaystyle{(2+\sqrt{3} )^n+ (2-\sqrt{3} )^n= 2A_n}$ όπου A_n

ακέραιος. 'Αρα

$\displaystyle{ \left | \sin \left( \pi (2+\sqrt{3} )^n \right) \right|= \left| \sin \left( 2A_n \pi -\pi (2-\sqrt{3} )^n \right)\right|= \left| \sin \left( \pi (2-\sqrt{3} )^n \right)\right|\le \pi (2-\sqrt{3} )^n }$

Οι όροι δεξιά είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο μικρότερο της μονάδας, άρα η αντίστοιχη σειρά συγκλίνει. Από κριτήριο σύγκρισης συγκλίνει (απόλυτα) και η δοθείσα σειρά.

Συγκλίνει η σειρά;

Συγκλίνει η σειρά;

Re: Συγκλίνει η σειρά;

Μέλη σε σύνδεση