Riemann αθροίσματα γενικευμένου

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $f:(0,1]\rightarrow \mathbb{R}$

ώστε για $0< \epsilon < 1$ η

είναι Riemann ολοκληρώσιμη στο $[\epsilon ,1]$

Θέτουμε $\int_{0}^{1}f(x)dx=\lim_{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int_{\epsilon }^{1}f(x)dx$

με την προυπόθεση ότι το όριο υπάρχει.(γενικευμένο Riemann)

1)Αν η

είναι μονότονη και το γενικευμένο Riemann υπάρχει δείξτε ότι

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})=\int_{0}^{1}f(x)dx$ (1)

2)Βρείτε

ώστε ο τύπος (1) να μην ισχύει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

1)Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση είναι φθίνουσα.
(αλλιώς δουλεύουμε με την

)

Είναι $\int_{\frac{1}{n}}^{1}f(x)dx\leq \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}f(\frac{k}{n})\leq \int_{0}^{\frac{n-1}{n}}f(x)dx$

Παίρνοντας $n\rightarrow \infty$ έχουμε το ζητούμενο.

Το 2) το αφήνω προς το παρόν.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Απάντηση για το 2)

Παίρνουμε $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$

με $f(x)=0,x\notin \left \{ \frac{1}{n}:n=1,2,3... \right \}$

και $f(\frac{1}{n})=n$

Το ολοκλήρωμα είναι

ενώ το άθροισμα $\geq 1$

Riemann αθροίσματα γενικευμένου

Riemann αθροίσματα γενικευμένου

Re: Riemann αθροίσματα γενικευμένου

Re: Riemann αθροίσματα γενικευμένου

Re: Riemann αθροίσματα γενικευμένου

Μέλη σε σύνδεση