Λογαριθμικό ολοκλήρωμα και συνάρτηση ζήτα

#1

Για

θετικό ακέραιο δείξτε ότι $\displaystyle{\int_{0}^{1}\ln^k(1-x)\ln x\,dx=(-1)^{k+1}k!(k+1-\zeta(2)-\zeta(3)-\cdots-\zeta(k+1))}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Για θετικό ακέραιο δείξτε ότι $\displaystyle{\int_{0}^{1}\ln^k(1-x)\ln x\,dx=(-1)^{k+1}k!(k+1-\zeta(2)-\zeta(3)-\cdots-\zeta(k+1))}$ .

$\displaystyle{\int\limits_0^1 {{{\log }^k}\left( {1 - x} \right)\log x\;dx} = \int\limits_0^1 {{{\log }^k}\left( x \right)\log \left( {1 - x} \right)\;dx} = - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}\int\limits_0^1 {{{\log }^k}\left( x \right)\;{x^n}\;dx} } = - {\left( { - 1} \right)^k}k!\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n{{\left( {n + 1} \right)}^{k + 1}}}}} }$ .

Έστω $\displaystyle{{I_k} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n{{\left( {n + 1} \right)}^{k + 1}}}}} }$ . Τότε $\displaystyle{{I_k} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^k}}}} \left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right) = {I_{k - 1}} - \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{{{n^{k + 1}}}}} = {I_{k - 1}} + 1 - \zeta \left( {k + 1} \right) = }$

$\displaystyle{ = \left( {{I_{k - 2}} + 1 - \zeta \left( k \right)} \right) + 1 - \zeta \left( {k + 1} \right) = {I_{k - 2}} + 2 - \zeta \left( k \right) - \zeta \left( {k + 1} \right) = .. = {I_0} + k - \zeta \left( 2 \right) - \zeta \left( 3 \right) - .. - \zeta \left( {k + 1} \right) = }$

$\displaystyle{ = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}} + k - \zeta \left( 2 \right) - \zeta \left( 3 \right) - .. - \zeta \left( {k + 1} \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right)} + k - \zeta \left( 2 \right) - \zeta \left( 3 \right) - .. - \zeta \left( {k + 1} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow {I_k} = k + 1 - \zeta \left( 2 \right) - \zeta \left( 3 \right) - .. - \zeta \left( {k + 1} \right)}$ ,

Τελικά $\displaystyle{\int\limits_0^1 {{{\log }^k}\left( {1 - x} \right)\log x\;dx} = {\left( { - 1} \right)^{k + 1}}k!\left( {k + 1 - \zeta \left( 2 \right) - \zeta \left( 3 \right) - .. - \zeta \left( {k + 1} \right)} \right)}$

Υ.Γ. Η ισότητα $\displaystyle{\int\limits_0^1 {{{\log }^k}\left( x \right)\;{x^n}\;dx} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}k!}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^{k + 1}}}}}$ προκύπτει εύκολα με παραγοντική ολοκλήρωση.

#3

Γεια σου Σεραφείμ! Ωραία

Λίγο διαφορετικά το σημείο που εμφανίζεται η $\zeta$ εδώ. Εϊναι το 5348 του SSM.

galactus · #4

Γράφουμε το ολοκλήρωμα ως:

$\displaystyle \int_{0}^{1}\ln^{k-1}(x)\ln(1-x)dx$

Ξεκινάμε με την ταυτότητα:

$\displaystyle \int_{0}^{1}x^{m-1}\ln(1-x)dx=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_{0}^{1}x^{n+m-1}dx=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+m)}$

Τώρα, διαφορίζουμε k-1

φορές ως προς

ώστε να έχουμε:

$\displaystyle \int_{0}^{1}x^{m-1}\ln^{k-1}(x)\ln(1-x)dx=(-1)^{k}(k-1)!\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+m)^{k}}$

Από τις γεωμετρικές σειρές έχουμε:

$\displaystyle \sum_{p=0}^{k-1}(x+1)^{p}=\frac{1-(x+1)^{k}}{x}$

διαιρούμε με $(x+1)^{k}$ :

$\displaystyle \frac{1}{(x+1)^{k}}\sum_{p=0}^{k-1}\frac{1}{(x+1)^{k-p}}=\frac{1}{x(x+1)^{k}}-\frac{1}{x}$

Αναλύοντας σε μερικά κλάσματα:

$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)^{k}}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}-\sum_{p=0}^{k-2}\frac{1}{(x+1)^{k-p}}$

Έτσι, έχουμε:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)^{k}}=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right]-\left[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{k}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{k-1}}+\cdot\cdot\cdot + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}}\right]$

$\displaystyle =1-\sum_{p=2}^{k}\left[\zeta(p)-1\right]=k-\sum_{p=2}^{k}\zeta(p)$

Επομένως, τελικά έχουμε:

$\displaystyle \int_{0}^{1}\ln^{k-1}(x)\ln(1-x)dx=(-1)^{k}(k-1)!\left[k-\sum_{p=2}^{k}\zeta(p)\right]$

Μπορούμε τώρα να αντικαταστήσουμε $k\to k+1$ για να έχουμε την ζητούμενη μορφή με το

σαν εκθέτη στον λογάριθμο $\ln$ αντί του k-1

.

$\boxed{\displaystyle \int_{0}^{1}\ln(x)\ln^{k}(1-x)dx=(-1)^{k+1}k!\left[k+1-\sum_{p=2}^{k+1}\zeta(p)\right]}$

Λογαριθμικό ολοκλήρωμα και συνάρτηση ζήτα

Λογαριθμικό ολοκλήρωμα και συνάρτηση ζήτα

Re: Λογαριθμικό ολοκλήρωμα και συνάρτηση ζήτα

Re: Λογαριθμικό ολοκλήρωμα και συνάρτηση ζήτα

Re: Λογαριθμικό ολοκλήρωμα και συνάρτηση ζήτα

Μέλη σε σύνδεση