Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Tolaso J Kos · #21

Άσκηση 8
α.Δώστε παράδειγμα δείχνοντας ότι η τομή απείρων ανοιχτών συνόλων μπορεί να μην είναι ανοιχτό σύνολο.
β.Δώστε παράδειγμα δείχνοντας ότι η ένωση απείρων κλειστών συνόλων μπορεί να μην είναι κλειστό σύνολο.

#22

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 8
α.Δώστε παράδειγμα δείχνοντας ότι η τομή απείρων ανοιχτών συνόλων μπορεί να μην είναι ανοιχτό σύνολο.
β.Δώστε παράδειγμα δείχνοντας ότι η ένωση απείρων κλειστών συνόλων μπορεί να μην είναι κλειστό σύνολο.

Παραείναι κοινές και απλές ασκήσεις για να αξίζουν τον χώρο στο

α) $\displaystyle{ \bigcap _{n=0}^{\infty} \left ( -\frac {1}{n} , \, 1+\frac {1}{n} \right ) = [0, \, 1]}$

β) $\displaystyle{ \bigcup _{n=0}^{\infty} \left [\frac {1}{n} , \, 1-\frac {1}{n} \right ] = (0, \, 1)}$

sokratis lyras · #23

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 8
α.Δώστε παράδειγμα δείχνοντας ότι η τομή απείρων ανοιχτών συνόλων μπορεί να μην είναι ανοιχτό σύνολο.
β.Δώστε παράδειγμα δείχνοντας ότι η ένωση απείρων κλειστών συνόλων μπορεί να μην είναι κλειστό σύνολο.

Για το α) παίρνουμε 2 θετικές ακολουθίες που συγκλίνουν στο

,τις

και

.H τομή των $I_n=(-a_n,b_n)=\left\{0 \right\}$ προφανώς δεν είναι ανοιχτό.
Για το β) ας πάρουμε οποιοδήποτε [a_n,k]

όπου η

να είναι φθίνουσα και να συγκλίνει όπου να ναι, κάτω από το

.

sokratis lyras · #24

Άσκηση 9

Έστω $\displaystyle (X,d)$ μετρικός χώρος, και έστω

υποσύνολο του

.
Να δείξετε ότι το

είναι πυκνό στον

αν και μόνο αν για κάθε $\displaystyle f :X\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχή ισχύει η συνεπαγωγή: $\displaystyle f(x)=0$ για κάθε $x\in D\implies f\equiv 0$

kgeo67 · #25

Mihalis_Lambrou έγραψε:
kgeo67 έγραψε:Ασκηση 7
Η έννοια του ολικά φραγμένου συνόλου διατηρείται από τους ομοιομορφισμούς;
Άλλο αντιπαράδειγμα (στην πραγματικότητα χρησιμοποιεί την ίδια ιδέα με το προηγούμενο, αλλά είναι ντυμένο αλλιώς):

Εξετάζουμε το $\displaystyle{ \left ( -\frac {\pi}{2} , \frac {\pi}{2}\right ) }$ με την συνήθη μετρική και, κατόπιν, με την μετρική
$d(x,y)= |\tan x- \tan y|$ .

To πρώτο είναι ολικά φραγμένο (άμεσο) αλλά όχι το δεύτερο. Ένας γρήγορος τρόπος να το διαπιστώσουμε είναι η παρατήρηση ότι ο δεύτερος είναι ισομετρικός με το $\mathbb R$ μέσω της $f(x)=\tan x$ αλλά, φυσικά, το $\mathbb R$ δεν είναι ολικά φραγμένο ως μη φραγμένο.

Φιλικά,

Μιχάλης

Μιχάλη ευχαριστώ για την βοήθεια, αν και για το δεύτερο αντιπαράδειγμα δεν είμαι σίγουρος ότι το κατάλαβα, με την πρώτη ευκαιρία θα το δω πιο προσεκτικά. Έχω βρεί δυο ακόμη αντιπαραδείγματα και θα ήθελα τη γνώμη σου γι΄αυτά.
Στο πρώτο από αυτά έχω θεωρήσει τη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left( {0,1} \right) \to \mathbb{R},}$ με $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{1}{{1 - x}} - \frac{1}{x}}$ η οποία είναι ομοιομορφισμός, το $\displaystyle{\left( {0,1} \right)}$ ολικά φραγμένο ενώ το $\mathbb R$ οχι, ενώ στο δεύτερο τη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R} \to \left( { - 1,1} \right)}$ με $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{x}{{1 + \left| x \right|}}}$
Ζητώ προκαταβολικά συγγνώμη για τυχόν λάθη στη γραφή μου, είναι η πρωτη φορά που γράφω σε latex

#26

sokratis lyras έγραψε:Άσκηση 9

Έστω $\displaystyle (X,d)$ μετρικός χώρος, και έστω υποσύνολο του .
Να δείξετε ότι το είναι πυκνό στον αν και μόνο αν για κάθε $\displaystyle f :X\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχή ισχύει η συνεπαγωγή: $\displaystyle f(x)=0$ για κάθε $x\in D\implies f\equiv 0$

$\Rightarrow$ . Αν

πυκνό και $x \in X$ υπάρχει ακολουθία $x_n \in D$ με $x_n\to x$ . Αλλά τότε $f(x) = f(\lim x_n)= \lim f(x_n)= \lim 0=0$ .

$\Leftarrow$ . Με αντιθετοαντιστροφή: Αν

μη πυκνό τότε υπάρχει $a\in X$ με d(a, D) >0

. Παρατηρούμε τότε ότι η $f :X\rightarrow \mathbb{R} , \, f(x)=d(x,D)$ είναι μη μηδενική με $f(x)=0, \forall x \in D$ και, ως γνωστόν (και απλό), είναι συνεχής. Δηλαδή δεν ισχύει η συνεπαγωγή $\displaystyle f(x)=0$ για κάθε $x\in D\implies f\equiv 0$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

sokratis lyras · #27

Ας το δυσκολέψουμε λίγο :

Άσκηση 10

Έστω $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ άπειρες φορές παραγωγίσιμη.Αν για κάθε $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ υπάρχει $\displaystyle n\in \mathbb{N}$ ώστε για κάθε $k\ge n$ να ισχύει f^k(x)=0

, να δείξετε ότι η

είναι πολυώνυμο.

Άσκηση 11

Έστω $\displaystyle (X,d)$ συμπαγής χώρος και $\displaystyle f:X\rightarrow X$ συνάρτηση έτσι ώστε $d(f(x),f(y))\ge d(x,y)$ .
Να δείξετε ότι η $\displaystyle f$ είναι ισομετρία.
Μπορούμε να πούμε ότι ισχύει το ίδιο αποτέλεσμα αν ισχύει η ανάποδη ανισότητα?

#28

sokratis lyras έγραψε:Ας το δυσκολέψουμε λίγο :

Άσκηση 10

Έστω $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ άπειρες φορές παραγωγίσιμη.Αν για κάθε $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ υπάρχει $\displaystyle n\in \mathbb{N}$ ώστε για κάθε $k\ge n$ να ισχύει , να δείξετε ότι η είναι πολυώνυμο.

Άσκηση 11

Έστω $\displaystyle (X,d)$ συμπαγής χώρος και $\displaystyle f:X\rightarrow X$ συνάρτηση έτσι ώστε $d(f(x),f(y))\ge d(x,y)$ .
Να δείξετε ότι η $\displaystyle f$ είναι ισομετρία.
Μπορούμε να πούμε ότι ισχύει το ίδιο αποτέλεσμα αν ισχύει η ανάποδη ανισότητα?

Έχουμε δει και τις δύο. Η πρώτη βασίζεται στο θεώρημα Baire (δεν την βρίσκω στο

αυτή την στιγμή και επειδή αύριο έχω ταξίδι, δεν έχω πολύ χρόνο να ψάξω. Θα χαρώ να εντοπίσει κάποιος το σχετικό ποστ).

Για το δεύτερο βλέπε εδώ.

Φιλικά,

Μιχάλης

Υ.Γ.

sokratis lyras έγραψε: Μπορούμε να πούμε ότι ισχύει το ίδιο αποτέλεσμα αν ισχύει η ανάποδη ανισότητα?

Όχι: $f(x) = \frac {x}{2}$ στο $[0, \, 1]$

sokratis lyras · #29

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Όχι: $f(x) = \frac {x}{2}$ στο $[0, \, 1]$

Τι πρέπει να προσθέσουμε για να ισχύει?(εύκολο)

Ιστοσελίδα · #30

sokratis lyras έγραψε:Τι πρέπει να προσθέσουμε για να ισχύει?(εύκολο)

Πρέπει να προσθέσουμε να είναι η

1-1 και επί.

Τότε θα ορίζεται η $f^{-1}:X\to X$ και για κάθε $x,y\in X$ θα είναι:
$d(f^{-1}(x),f^{-1}(y))\geq d(x,y)$

Τότε η $f^{-1}$ θα είναι ισομετρία, οπότε και η

θα είναι ισομετρία.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #31

Γειά σας.Η ασκήση 11 βρισκέται στο Real Analysis του Carothers με υπόδειξη.(η απόδειξη είναι πιο ''απλή'' από την απόδειξη του Μιχάλη Λάμπρου)

Ιστοσελίδα · #32

Άσκηση 12

Έστω

σύνολο θετικών πραγματικών αριθμών με supA<1

. Υποθέτουμε ότι το

έχει την ιδιότητα:

αν $a,b\in A$ και a<b

, τότε $\dfrac{a}{b}\in A$ . Να αποδείξετε ότι $supA\in A$ .

opener · #33

stranton έγραψε:Άσκηση 12

Έστω σύνολο θετικών πραγματικών αριθμών με . Υποθέτουμε ότι το έχει την ιδιότητα:

αν $a,b\in A$ και , τότε $\dfrac{a}{b}\in A$ . Να αποδείξετε ότι $supA\in A$ .

Καλησπέρα!!

Κάνω μια προσπάθεια αλλά δεν ξέρω αν είναι σωστή, αν μπορει καποιος να την κοιτάξει και να μου πει.

Προφανώς $x=\sup{A}>0$ .
Έστω τώρα το χ δεν ανήκει στο Α. Τότε μπορούμε να βρούμε μια γνησίως αύξουσα ακολουθία $a_n \in A$ με $a_n \rightarrow x$ .
Απόδειξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Τώρα προκύπτει ότι $\frac{a_n}{a_{n+1}} \in A$ , αφού a_n

γν.αύξουσα.
Άρα $\frac{a_n}{a_{n+1}}<x$ και αφού τα όρια ακολουθιών διατηρούν τη διάταξη προκύπτει ότι: $1 \leq x$ , καθώς $\frac{a_n}{a_{n+1}} \rightarrow \frac{x}{x}=1$ , άτοπο.

Συνεπώς $\sup{A} \in A$ .

ΥΓ.Πώς γράφεται το "δεν ανήκει" στο latex?

Tolaso J Kos · #34

opener έγραψε:
ΥΓ.Πώς γράφεται το "δεν ανήκει" στο latex?

Κώδικας: Επιλογή όλων

x \notin A

το οποίο δίδει $x \notin A$ .

#35

sokratis lyras έγραψε: Άσκηση 10

Έστω $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ άπειρες φορές παραγωγίσιμη.Αν για κάθε $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ υπάρχει $\displaystyle n\in \mathbb{N}$ ώστε για κάθε $k\ge n$ να ισχύει , να δείξετε ότι η είναι πολυώνυμο.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Έχουμε δει και τις δύο. Η πρώτη βασίζεται στο θεώρημα Baire (δεν την βρίσκω στο αυτή την στιγμή και επειδή αύριο έχω ταξίδι, δεν έχω πολύ χρόνο να ψάξω. Θα χαρώ να εντοπίσει κάποιος το σχετικό ποστ).

Από τα Γιάννενα εν αναμονή του τεράστιου σε όγκο Σεμιναρίου της ΟΕΦΕ, βλέπε
για το παραπάνω στα

viewtopic.php?f=9&t=5407&p=30643&hilit=Baire#p30643

viewtopic.php?f=9&t=3078&p=17885#p17885

Μ.

viewtopic.php?f=9&t=3078&p=17569&hilit=Taylor#p17569

opener · #36

Μια άσκηση ώστε να μη πεθάνει το τόπικ!

Δε ξέρω αν κάνει για το συγκεκριμενο θέμα αλλα όπως και να έχει, νομίζω είναι ενδιαφέρουσα:

Άσκηση 13

Να εξετάσετε ως προς τη σύγκλιση την $a_n=\dfrac{1^k+2^k+...+n^k}{n^{k+1}}$ , $k \in \mathbb{N}$ .

AlexandrosG · #37

opener έγραψε:Μια άσκηση ώστε να μη πεθάνει το τόπικ!

Δε ξέρω αν κάνει για το συγκεκριμενο θέμα αλλα όπως και να έχει, νομίζω είναι ενδιαφέρουσα:

Άσκηση 13

Να εξετάσετε ως προς τη σύγκλιση την $a_n=\dfrac{1^k+2^k+...+n^k}{n^{k+1}}$ , $k \in \mathbb{N}$ .

Μια αντιμετώπιση .

Από την ανισότητα εδώ παίρνουμε ότι για κάθε

$\displaystyle{\frac{1}{k+1}<a_n<\Bigg(\frac{n+1}{n}\Bigg)^{k+1}\frac{1}{k+1}}$ .

Άρα το όριο είναι $\frac{1}{k+1}$ .

Υπάρχει μία πιο κλασική αντιμετώπιση. Το αφήνω σαν άσκηση να βρεθούν διαφορετικές λύσεις.

Tolaso J Kos · #38

opener έγραψε:Μια άσκηση ώστε να μη πεθάνει το τόπικ!

Δε ξέρω αν κάνει για το συγκεκριμενο θέμα αλλα όπως και να έχει, νομίζω είναι ενδιαφέρουσα:

Άσκηση 13

Να εξετάσετε ως προς τη σύγκλιση την $a_n=\dfrac{1^k+2^k+...+n^k}{n^{k+1}}$ , $k \in \mathbb{N}$ .

Η λύση που έχω για αυτό (για το όριο) είναι με αριθμούς ${\rm Bernoulli}$ . Κάποτε την είχα δει αυτή την άσκηση και μου χει κάνει εντύπωση. Γράφω τη λύση για ποικιλία.

Έστω $\displaystyle{1^k+2^k+3^k+\cdots+n^k=P_k(n)}$ . Αυτό είναι πολυώνυμο βαθμού k+1

και δίδεται του τύπου: (είναι γνωστός ο τύπος)
$\displaystyle{P_k(n)=\frac{1}{p+1}\sum_{i=0}^{k}\binom{k+1}{i}B_in^{k+1-i}}$

όπου B_i

οι αριθμοί ${\rm Bernoulli}$ .

Οπότε:
$\displaystyle{\frac{P_k(n)}{n^{k+1}}=\frac{1}{p+1}\sum_{i=0}^{k}\binom{k+1}{i}B_in^{-i}=\frac{1}{k+1}\left ( B_0+\mathcal{O}\left ( \frac{1}{n} \right ) \right )\rightarrow \frac{1}{k+1}}$

αφού $\displaystyle{B_0=1}$ από όπου το ζητούμενο.

Σαφώς είναι πιο δύσκολη λύση από τη πάνω που έδωσε ο Αλέξανδρος, αλλά μου είχε αρέσει. Υπάρχουν βέβαια αρκετές λύσεις για αυτή. Μία άλλη που θυμάμαι είναι με ολοκλήρωμα:

Γράφουμε:
$\displaystyle{1^k+2^k+\cdots+n^k=\sum_{i=1}^{k}i^k}$ .
Οπότε το όριο γράφεται:
$\displaystyle{\lim \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i^k}{n^k}=\int_{0}^{1}x^k\,dx=\frac{1}{k+1}}$

Ελπίζω να μην έχω μπερδέψει τους συμβολισμούς.. μιας και είναι περασμένη η ώρα...

____________________________________________________________________________________________
Ένα παρεμφερές πρόβλημα (όριο) είναι και το εξής:

$\displaystyle{\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{1^p+2^p+3^p + \cdots + n^p}{n^p} - \frac{n}{p+1}\right)}$

Tolaso J Kos · #39

Μία που μου έκανε εντύπωση

Άσκηση 14
Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow (0, +\infty)$ τέτοια ώστε: $\displaystyle{f(x)\ln f(x)=e^x \;\; \forall x \in \mathbb{R}}$ .
Να υπολογίσετε το όριο:

$\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{\ln x}{f(x)}\right)^{\displaystyle\frac{f(x)}{x}}}$

BAGGP93 · #40

sokratis lyras έγραψε:Άσκηση 9

Έστω $\displaystyle (X,d)$ μετρικός χώρος, και έστω υποσύνολο του .
Να δείξετε ότι το είναι πυκνό στον αν και μόνο αν για κάθε $\displaystyle f :X\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχή ισχύει η συνεπαγωγή: $\displaystyle f(x)=0$ για κάθε $x\in D\implies f\equiv 0$

Ένα ωραίο συμπέρασμα της Συναρτησιακής Ανάλυσης που προκύπτει από την άσκηση αυτή είναι το ακόλουθο.

Αν $\displaystyle{\left(X,||\cdot||\right)}$ είναι χώρος με νόρμα και $\displaystyle{f:X\longrightarrow \mathbb{R}}$

είναι μια συνεχής και μη-μηδενική $\displaystyle{\mathbb{R}}$ - γραμμική απεικόνιση, τότε ο πυρήνας αυτής,

$\displaystyle{\rm{Ker}(f)=\left\{x\in X: f(x)=0\right\}}$ δεν είναι πυκνό υποσύνολο του μετρικού χώρου $\displaystyle{\left(X,d\right)}$

όπου $\displaystyle{d:X\times X\longrightarrow \mathbb{R}\,,\left(x,y)\mapsto d\,(x,y)=||x-y||$ , η επαγόμενη, από την νόρμα του χώρου, μετρική.

Έτσι, αν συμβολίσουμε με $\displaystyle{\mathbb{T}}$ την τοπολογία που προέρεχται από τη μετρική $\displaystyle{d}$ ,

τότε έχουμε την ισχύ της ισοδυναμίας :

$\displaystyle{G\cap D\neq \varnothing \,\,,\forall\,G\in \mathbb{T}-\left\{\varnothing\right\} \iff \forall\,f\in \mathbb{B}\,(X,\mathbb{R}): f|_{D}=\mathbb{O}\implies f=\mathbb{O}}$

όπου $\displaystyle{\mathbb{B}\,(X,\mathbb{R})$ είναι το σύνολο όλων των γραμμικών και συνεχών απεικονίσεων από το

$\displaystyle{X}$ στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Αν θέσουμε $\displaystyle{\left(X,d\right)=\left(\mathbb{R},\left|\cdot\right|\right)}$ και $\displaystyle{D=\mathbb{Q}}$ ,

τότε η συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\,,f(x)=\begin{cases} 0\,\,,x\in \mathbb{Q}\\ 1\,\,,x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases}}$

είναι ασυνεχής. Επίσης, δεν θα μπορούσε να είναι συνεχής και από το γεγονός ότι :

$\displaystyle{f(\sqrt{2}+\sqrt{3})=1\neq 2=1+1=f(\sqrt{2})+f(\sqrt{3})}$ .

Ίσως ξέφυγα από το πνεύμα του θέματος αλλά, νομίζω ήταν ωραία συμπεράσματα.

Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μέλη σε σύνδεση