Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 612
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Ιαν 07, 2018 2:14 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Ιαν 07, 2018 12:28 pm
Άσκηση 7. Δίνονται N το πλήθος αριθμοί a_1, \, a_2, \, ... \,,\, a_N ο καθένας από τους οποίους είναι \pm 1.
Αν a_1a_2+a_2a_3+...+a_{N-1}a_N+a_Na_1=0, δείξτε ότι ο N είναι πολλαπλάσιο του 4.
Έστω x το πλήθος των "δυάδων" της μορφής 1\cdot 1, y αυτών της μορφής -1\cdot -1 και z αυτών της μορφής 1\cdot -1

Αφού οι πρώτες 2 κατηγορίες δίνουν 1 ενώ η τρίτη δίνει -1, προκύπτει ότι για να βγαίνει το άθροισμα 0 πρέπει x+y=z.

Έστω k το πλήθος των 1 που υπάρχουν στις σχέσεις. Θα είναι k=2x+z. Όμως για να βρούμε το πλήθος των 1 διπλομετρούμε το πλήθος των a_i που είναι 1. Άρα ισχύει ότι το πλήθος των k είναι άρτιος αριθμός άρα προκύπτει πως το z είναι άρτιος αριθμός, έστω z=2l.

Παρατηρούμε πως το πλήθος όλων των δυάδων είναι x+y+z και ταυτόχρονα είναι ίσο με N. Άρα N=x+y+z. Όμως x+y=z, άρα N=2z\Rightarrow N=4l και το ζητούμενο έπεται.


Houston, we have a problem!

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1308
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

ΑΣΚΗΣΗ 8. Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Κυρ Ιαν 07, 2018 9:52 pm

Με χαρά διαπιστώνω ότι η "συλλογή των μονά-ζυγά" αυξάνεται.
Η πρόταση του Μιχάλη έχει "πιάσει τόπο".
Αυτή θα μπορεί να αποτελέσει μια καλή Τράπεζα θεμάτων για Ομίλους Μαθηματικών κλπ.
Δίνω το επόμενο πρόβλημα.
Επειδή είναι από γνωστό βιβλίο (και πιθανώς να την γνωρίζουν) θα παρακαλούσα τους Ορέστη και Διονύση να αργήσουν λίγο να απαντήσουν
για να δώσουν την ευκαιρία και σε άλλα παιδιά να σκεφτούν πάνω σε αυτό το θέμα.

ΑΣΚΗΣΗ 8.
Να αιτιολογήσετε γιατί δεν μπορεί κανένα κυρτό 13-γωνο να χωριστεί σε παραληλόγραμμα.


sokpanvas
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 31, 2017 1:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΑΣΚΗΣΗ 8. Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokpanvas » Κυρ Ιαν 07, 2018 10:16 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Κυρ Ιαν 07, 2018 9:52 pm
Με χαρά διαπιστώνω ότι η "συλλογή των μονά-ζυγά" αυξάνεται.
Η πρόταση του Μιχάλη έχει "πιάσει τόπο".
Αυτή θα μπορεί να αποτελέσει μια καλή Τράπεζα θεμάτων για Ομίλους Μαθηματικών κλπ.
Δίνω το επόμενο πρόβλημα.
Επειδή είναι από γνωστό βιβλίο (και πιθανώς να την γνωρίζουν) θα παρακαλούσα τους Ορέστη και Διονύση να αργήσουν λίγο να απαντήσουν
για να δώσουν την ευκαιρία και σε άλλα παιδιά να σκεφτούν πάνω σε αυτό το θέμα.

ΑΣΚΗΣΗ 8.
Να αιτιολογήσετε γιατί δεν μπορεί κανένα κυρτό 13-γωνο να χωριστεί σε παραληλόγραμμα.
τελευταία επεξεργασία από sokpanvas σε Κυρ Ιαν 07, 2018 11:36 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 07, 2018 10:46 pm

Ωραία η λύση του Διονύση στην 7.

Η άσκηση αυτή είχε πέσει σε μία Ολυμπιάδα, δεν θυμάμαι που και πότε, και όλες οι λύσεις που έχω δει
είναι παραλλαγές αυτής του Διονύση: Έχουν δύο στάδια, δείxνοντας ότι το N είναι άρτιος και μετά, με χρήση
του, ότι είναι πολλαπλάσιο του 4

Δίνω μια πιο απλή με ένα μικρό τέχνασμα.
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Ιαν 07, 2018 12:28 pm
Άσκηση 7. Δίνονται N το πλήθος αριθμοί a_1, \, a_2, \, ... \,,\, a_N ο καθένας από τους οποίους είναι \pm 1.
Αν a_1a_2+a_2a_3+...+a_{N-1}a_N+a_Na_1=0, δείξτε ότι ο N είναι πολλαπλάσιο του 4.
.
Θέτουμε b_k= \frac {a_k+1}{2}, οπότε το b_k παίρνει τιμές 0 ή 1. Η παράσταση που δίνεται γίνεται τώρα

\displaystyle{0 = (2b_1-1)(2b_2-1)+(2b_2-1)(2b_3-1)+...+(2b_N-1)(2b_1-1)=}

\displaystyle{=4(b_1b_2 +b_2b_3+ ... +b_N2b_1) - 2(b_1 +b_2) -2 (b_2+b_3)-... -2(b_N+b_1) +N=}

\displaystyle{=4(b_1b_2 +b_2b_3+ ... +b_N2b_1) - 4(b_1 +b_2+...+b_N) +N= 4A+N}, οπότε N=-4A
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Δευ Ιαν 08, 2018 1:09 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΑΣΚΗΣΗ 8. Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 07, 2018 11:39 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Κυρ Ιαν 07, 2018 9:52 pm
Αυτή θα μπορεί να αποτελέσει μια καλή Τράπεζα θεμάτων για Ομίλους Μαθηματικών κλπ.
Ανδρέα, αυτή ακριβώς είναι η ιδέα.

Γνωρίζω ότι η ελληνική βιβλιογραφία είναι πτωχή σε θέματα που είναι έξω από τα τυποποιημένα αλλά όχι τόσο δύσκολα
ώστε να λειτουργούν αποτρεπτικά στους μαθητές. Οπότε θα ήμουν ευτυχής αν κάποιος κάποτε μάζευε
το υλικό από το φόρουμ, το συστηματοποιούσε, και το έφτιαχνε ένα βιβλιαράκι για όφελος των μαθητών μας.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Ιαν 08, 2018 12:32 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Ιαν 07, 2018 12:28 pm
Άσκηση 7. Δίνονται N το πλήθος αριθμοί a_1, \, a_2, \, ... \,,\, a_N ο καθένας από τους οποίους είναι \pm 1.
Αν a_1a_2+a_2a_3+...+a_{N-1}a_N+a_Na_1=0, δείξτε ότι ο N είναι πολλαπλάσιο του 4.
Ας δούμε και μια διαφορετική λύση: Κάθε φορά που αλλάζω ένα αριθμό από -1 σε +1 η παράσταση παραμένει αναλλοίωτη modulo 4.

Αρχικά η παράσταση ισούται με 0. Όταν κάνω όλα τα a_i ίσα με +1 η παράσταση θα ισούται με N. Άρα N \equiv 0 \bmod 4 όπως ήθελα να δείξω.


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΑΣΚΗΣΗ 8. Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιαν 09, 2018 8:50 am

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Κυρ Ιαν 07, 2018 9:52 pm
ΑΣΚΗΣΗ 8.
Να αιτιολογήσετε γιατί δεν μπορεί κανένα κυρτό 13-γωνο να χωριστεί σε παραληλόγραμμα.
H άσκηση 8 παραμένει ανοικτή αφού διαγράφτηκε η προηγούμενη προσπάθεια.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Ιαν 12, 2018 9:41 am

Άσκηση 9

Δίνονται 2018 θετικοί ακέραιοι a_1,a_2,\ldots,a_{2018} ώστε

\displaystyle  \frac{1}{a_1} + \cdots + \frac{1}{a_{2018}} = 1.

Να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους ακεραίους είναι άρτιος.


sokpanvas
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 31, 2017 1:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokpanvas » Παρ Ιαν 12, 2018 6:13 pm

Demetres έγραψε:
Παρ Ιαν 12, 2018 9:41 am
Άσκηση 9

Δίνονται 2018 θετικοί ακέραιοι a_1,a_2,\ldots,a_{2018} ώστε

\displaystyle  \frac{1}{a_1} + \cdots + \frac{1}{a_{2018}} = 1.

Να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους ακεραίους είναι άρτιος.
Υποθέτουμε ότι είναι όλοι περιττοί τότε a_1a_2...a_{2018}= a_2...a_{2018} + a_1a_3...a_{2018} +...+ a_1...a_{2017} η αριστερή πλευρά ειναι περιττός ενώ η δεξιά άρτιος αδύνατο.


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΑΣΚΗΣΗ 8. Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 12, 2018 6:47 pm

Ας δώσω μία υπόδειξη.
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Ιαν 09, 2018 8:50 am
Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Κυρ Ιαν 07, 2018 9:52 pm
ΑΣΚΗΣΗ 8.
Να αιτιολογήσετε γιατί δεν μπορεί κανένα κυρτό 13-γωνο να χωριστεί σε παραληλόγραμμα.
H άσκηση 8 παραμένει ανοικτή αφού διαγράφτηκε η προηγούμενη προσπάθεια.
Έστω ότι υπήρχε ένας τέτοιος χωρισμός σε παραλληλόγραμμα.

Πάρτε μία πλευρά του κυρτού 13-γώνου (γενικά 2n+1-γώνου). Δείξτε ότι θα είναι παράλληλη
σε κάποια άλλη του πλευρά.


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1308
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Παρ Ιαν 12, 2018 10:32 pm

Για τους Ορέστη και Διονύση έληξε η ισχύς του "απαγορευτικού" για την άσκηση Νο 8.
(Υπάρχει μια οικειότητα με τα παιδιά αυτά λόγω του πενθήμερου της περσινής Βαλκανιάδας στη Βάρνα).
Δίνω μια νέα άσκηση την οποία δεν πρέπει να "αγγίζουν" αυτοί οι δύο, ούτε και ο sakpanvas, ο οποίος βλέπω ότι είναι δραστήριος λύτης.
Μετά από μια εβδομάδα αν δεν εμφανιστεί κάποιος μαθητής λύτης, τότε επιβάλλλεται να παρουσιάσετε τις λύσεις σας. :coolspeak:

ΑΣΚΗΣΗ Νο 10.
Να λυθεί στους ακέραιους αριθμούς η εξίσωση a^2 + b^2 + c^2 = 10001 +a + b + c,


ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 489
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Παρ Ιαν 12, 2018 10:48 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Παρ Ιαν 12, 2018 10:32 pm
Για τους Ορέστη και Διονύση έληξε η ισχύς του "απαγορευτικού" για την άσκηση Νο 8.
(Υπάρχει μια οικειότητα με τα παιδιά αυτά λόγω του πενθήμερου της περσινής Βαλκανιάδας στη Βάρνα).
Δίνω μια νέα άσκηση την οποία δεν πρέπει να "αγγίζουν" αυτοί οι δύο, ούτε και ο sakpanvas, ο οποίος βλέπω ότι είναι δραστήριος λύτης.
Μετά από μια εβδομάδα αν δεν εμφανιστεί κάποιος μαθητής λύτης, τότε επιβάλλλεται να παρουσιάσετε τις λύσεις σας. :coolspeak:

ΑΣΚΗΣΗ Νο 10.
Να λυθεί στους ακέραιους αριθμούς η εξίσωση a^2 + b^2 + c^2 = 10001 +a + b + c,
Καλησπέρα!

Η εξίσωση γράφεται a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)=1001. Όμως κάθε αριθμός στο LHS είναι άρτιος (γιατί;) αλλά το RHS είναι περιττός. Συνεπώς η εξίσωση δεν έχει λύσεις.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1156
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Ιαν 13, 2018 12:12 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Κυρ Ιαν 07, 2018 9:52 pm
Με χαρά διαπιστώνω ότι η "συλλογή των μονά-ζυγά" αυξάνεται.
Η πρόταση του Μιχάλη έχει "πιάσει τόπο".
Αυτή θα μπορεί να αποτελέσει μια καλή Τράπεζα θεμάτων για Ομίλους Μαθηματικών κλπ.
Δίνω το επόμενο πρόβλημα.
Επειδή είναι από γνωστό βιβλίο (και πιθανώς να την γνωρίζουν) θα παρακαλούσα τους Ορέστη και Διονύση να αργήσουν λίγο να απαντήσουν
για να δώσουν την ευκαιρία και σε άλλα παιδιά να σκεφτούν πάνω σε αυτό το θέμα.

ΑΣΚΗΣΗ 8.
Να αιτιολογήσετε γιατί δεν μπορεί κανένα κυρτό 13-γωνο να χωριστεί σε παραληλόγραμμα.
Το 13-γωνο δεν έχει άρτιο πλήθος πλευρών, συνεπώς δεν έχει κέντρο συμμετρίας.
Μόνο τα κανονικά πολύγωνα με άρτιο αριθμό πλευρών έχουν κέντρο συμμετρίας και κάθε πλευρά του έχει μοναδική παράλληλο πλευρά.
(*)

Έστω ότι το 13-γωνο καλύπτεται με παραλληλόγραμμα.

Τότε, από κάθε πλευρά του πολυγώνου, δημιουργείται μία αλυσίδα παραλληλογράμμων και καταλήγουμε σε μία ''απέναντι'' πλευρά του, που είναι παράλληλη και ίση με την αρχική.

Επειδή το πολύγωνο έχει περιττό πλήθος πλευρών, θα υπάρχει πλευρά που θα είναι παράλληλη σε δύο άλλες πλευρές του, άτοπο από (*).

Άρα, δεν μπορεί να καλυφθεί το πολύγωνο από παραλληλόγραμμα.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 13, 2018 12:49 pm

Άσκηση 11.
α) Σχεδιάστε μία πολυγωνική γραμμή κάθε πλευρά της οποίας τέμνει ακριβώς μία άλλη από τις υπόλοιπες πλευρές. (Οι τομές πρέπει να είναι σε εσωτερικά σημεία των πλευρών, όχι κορυφές.)
β) Δείξτε ότι κάθε πολυγωνική γραμμή όπως στο α) ερώτημα, έχει άρτιο πλήθος πλευρών.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 612
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Ιαν 14, 2018 10:30 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Ιαν 13, 2018 12:49 pm
Άσκηση 11.
α) Σχεδιάστε μία πολυγωνική γραμμή κάθε πλευρά της οποίας τέμνει ακριβώς μία άλλη από τις υπόλοιπες πλευρές. (Οι τομές πρέπει να είναι σε εσωτερικά σημεία των πλευρών, όχι κορυφές.)
β) Δείξτε ότι κάθε πολυγωνική γραμμή όπως στο α) ερώτημα, έχει άρτιο πλήθος πλευρών.
α)
Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων-11.png
Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων-11.png (11.86 KiB) Προβλήθηκε 111 φορές
β) Κάθε πλευρά τέμνει ακριβώς μία άλλη από τις υπόλοιπες πλευρές και επομένως τέμνεται κι αυτή. Αφού κάθε σημείο τομής ορίζεται από δύο πλευρές και κάθε πλευρά συμμετέχει σε ένα μόνο σημείο τομής, αναγκαστικά το πλήθος των πλευρών θα είναι άρτιος αριθμός.


Houston, we have a problem!
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 14, 2018 10:57 pm

Διονύση, ωραιότατα.

Όπως και στην δική σου καμπύλη αν κολλήσουμε τα δύο άκρα, μπορούμε να έχουμε ακόμα και κλειστή πολυγωνική γραμμή.

Χάριν πληρότητας επισυνάπτω μία (ουσιαστικά την ίδια αλλά) με πιο λίγες πλευρές.
.
Συνημμένα
Aftotemnomeni.png
Aftotemnomeni.png (8.63 KiB) Προβλήθηκε 101 φορές


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#37

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 14, 2018 11:54 pm

Άσκηση 12.
Έστω p ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές τέτοιο ώστε p(1) περιττός αριθμός. Δείξτε ότι
αν το p έχει ακέραια ρίζα, τότε η ρίζα αυτή θα είναι άρτιος αριθμός.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 612
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#38

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Δευ Ιαν 15, 2018 8:14 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Ιαν 14, 2018 11:54 pm
Άσκηση 12.
Έστω p ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές τέτοιο ώστε p(1) περιττός αριθμός. Δείξτε ότι
αν το p έχει ακέραια ρίζα, τότε η ρίζα αυτή θα είναι άρτιος αριθμός.
Έστω t μια ακέραια ρίζα του πολυωνύμου p. Τότε αυτό μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως εξής:

p(x)=(x-t)q(x), όπου q πολυώνυμο βαθμού μικρότερου κατά 1.

Όμως ξέρουμε ότι το p(1)=(1-t)q(1) είναι περιττός αριθμός.
Αναγκαστικά πρέπει το 1-t να είναι περιττός αριθμός (γιατί αλλιώς θα καταλήγαμε σε άτοπο) και επομένως η ρίζα t να είναι άρτιος αριθμός.


Houston, we have a problem!
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#39

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιαν 15, 2018 8:24 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Δευ Ιαν 15, 2018 8:14 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Ιαν 14, 2018 11:54 pm
Άσκηση 12.
Έστω p ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές τέτοιο ώστε p(1) περιττός αριθμός. Δείξτε ότι
αν το p έχει ακέραια ρίζα, τότε η ρίζα αυτή θα είναι άρτιος αριθμός.
Έστω t μια ακέραια ρίζα του πολυωνύμου p. Τότε αυτό μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως εξής:

p(x)=(x-t)q(x)

Όμως ξέρουμε ότι το p(1)=(1-t)q(1) είναι περιττός αριθμός.
Αναγκαστικά πρέπει το 1-t να είναι περιττός αριθμός (γιατί αλλιώς θα καταλήγαμε σε άτοπο) και επομένως η ρίζα t να είναι άρτιος αριθμός.
Πολλή ωραία λύση. Η δική μου είναι: Αν t περιττή ρίζα τότε αφού όλα τα t^k είναι περιττοί αριθμοί, έχουμε modulo 2

0=p(t) = \sum a_kt^k\equiv \sum a_k=p(1) = περιττός. Άτοπο.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#40

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Ιαν 15, 2018 11:04 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Δευ Ιαν 15, 2018 8:14 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Ιαν 14, 2018 11:54 pm
Άσκηση 12.
Έστω p ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές τέτοιο ώστε p(1) περιττός αριθμός. Δείξτε ότι
αν το p έχει ακέραια ρίζα, τότε η ρίζα αυτή θα είναι άρτιος αριθμός.
Έστω t μια ακέραια ρίζα του πολυωνύμου p. Τότε αυτό μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως εξής:

p(x)=(x-t)q(x), όπου q πολυώνυμο βαθμού μικρότερου κατά 1.

Όμως ξέρουμε ότι το p(1)=(1-t)q(1) είναι περιττός αριθμός.
Αναγκαστικά πρέπει το 1-t να είναι περιττός αριθμός (γιατί αλλιώς θα καταλήγαμε σε άτοπο) και επομένως η ρίζα t να είναι άρτιος αριθμός.
Υπάρχει ένα μικρό θεματάκι εδώ. Πρέπει να δείξουμε και ότι το q(x) έχει ακέραιους συντελεστές. Επαγωγικά δεν είναι δύσκολο. Ισχύει μάλιστα το εξής πιο γενικό το οποίο ονομάζεται Λήμμα του Gauss:

Ονομάζουμε ένα πολυώνυμο αρχικό αν έχει ακέραιους συντελεστής με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη τους να ισούται με 1.

Λήμμα Gauss: Το γινόμενο δύο αρχικών πολυωνύμων είναι αρχικό.

Από το λήμμα του Gauss, όντως παίρνουμε ότι το q(x) έχει ακέραιους συντελεστές. Πράγματι, έστω d \in \mathbb{N} τέτοιο ώστε το dq(x) να είναι αρχικό. Τότε το dp(x) = (x-t)(dq(x)) είναι αρχικό. Επειδή το p(x) έχει ακέραιους συντελεστές, πρέπει d=1. Άρα και το q(x) έχει ακέραιους συντελεστές.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης