Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1170
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#61

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Φεβ 05, 2018 9:06 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Δευ Φεβ 05, 2018 8:20 pm
18η Άσκηση.
Σε μια ευθεία ορίζουμε δύο σημεία A και B.
Στη συνέχει επιλέγουμε τυχαία στην ευθεία 9 σημεία που δεν ανήκουν στο ευθύγραμμο τμήμα AB.
Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των αποστάσεων των εννέα σημείων από το A, δεν είναι ίσο με το άθροισμα των αποστάσεών τους από το B.

Αν γενικεύσετε το ερώτημα με n, τι τιμές παίρνει ο φυσικός n ώστε να ισχύει το ζητούμενο;
Καλησπέρα κύριε Ανδρέα.

Θα εργαστούμε κατευθείαν για την γενική περίπτωση.

Θα βρούμε για ποιες τιμές του n μπορεί να είναι S_A=S_B (όπου S_A,S_B τα αθροίσματα των αποστάσεων των n σημείων από τα A,B ).

Ονομάζουμε P_1,P_2, \ldots, P_n τα σημεία.

Έστω πως a σημεία (έστω τα P_1,P_2, \ldots, P_a) βρίσκονται αριστερά του A, και τα υπόλοιπα n-a (έστω τα P_{a+1}, \ldots, P_n) δεξιά του B.

Είναι \displaystyle S_A=\sum_{i=1}^{n} AP_i=\sum_{j=1}^{a}AP_j+\sum_{k=a+1}^{n} AP_k.

Όμοια \displaystyle S_B=\sum_{i=1}^{n} BP_i=\sum_{j=1}^{a}BP_j+\sum_{k=a+1}^{n} BP_k.

Είναι S_A=S_B, άρα \displaystyle S_A-S_B=0 \Rightarrow \sum_{j=1}^{a}(AP_j-BP_j)+\sum_{k=a+1}^{n}(AP_k-BP_k)=0 (1).

Παρατηρούμε ότι για κάθε σημείο αριστερά του A ισχύει AP_j-BP_j=-AB, ενώ για κάθε σημείο δεξιά του B ισχύει AP_k-BP_k=AB.

Έτσι η (1) γίνεται -ABa+AB(n-a)=0 \Rightarrow n=2a=\textnormal{\gr άρτιος}.

Έτσι, το ζητούμενο ισχύει (δηλαδή να μην γίνεται το άθροισμα των αποστάσεων να είναι το ίδιο) όταν \boxed{n=2k+1}.

Η αρχική περίπτωση για n=9 γίνεται προφανής αφού 9 περιττός.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: 18η Άσκηση Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#62

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Φεβ 05, 2018 9:47 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Δευ Φεβ 05, 2018 8:20 pm
18η Άσκηση.
Σε μια ευθεία ορίζουμε δύο σημεία A και B.
Στη συνέχει επιλέγουμε τυχαία στην ευθεία 9 σημεία που δεν ανήκουν στο ευθύγραμμο τμήμα AB.
Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των αποστάσεων των εννέα σημείων από το A, δεν είναι ίσο με το άθροισμα των αποστάσεών τους από το B.

Αν γενικεύσετε το ερώτημα με n, τι τιμές παίρνει ο φυσικός n ώστε να ισχύει το ζητούμενο;
Μετά την λύση του Ορέστη θα δώσω την ίδια λύση με άλλη ορολογία ίσως εκτός φακέλλου.

Θεωρούμε τα σημεία πάνω στον άξονα των πραγματικών.

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι A\equiv 0,B\equiv 1

Εστω a_{1}<a_{2}<....<a_{n} τα σημεία με a_{i}\notin [0,1],i=1,2,...n

Θεωρούμε την συνάρτηση

f(x)=\left | x-a_{1} \right |+\left | x-a_{2} \right |+...+\left | x-a_{n} \right |

Για να συμβεί αυτό που θέλουμε πρέπει και αρκεί f(0)=f(1)

Η συνάρτηση στα διαστήματα που ορίζουν τα a_{i},0,1

είναι της μορφής Dx+K

Αν ισχύει η f(0)=f(1) τότε στο διάστημα [0,1] πρέπει να είναι σταθερή.

Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να εξαφανιστούν τα x.

Αυτό μπορεί να συμβεί αν το n είναι άρτιος.

Αρα αν το n είναι περιττός δεν μπορεί να συμβεί.

Οταν ο n είναι άρτιος γίνεται αν και μόνο αν τα μισά είναι αρνητικά και τα μισά μεγαλύτερα του 1


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1313
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#63

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Τρί Φεβ 06, 2018 9:23 am

Μπράβο Ορέστη για τη λύση και για τη μόνιμη συνεισφορά σου.
Σταύρο σε ευχαριστούμε για την "άλλη ματιά".
Αν καταφέρουμε να συγκεντρώσουμε γύρω στα 100 θέματα με πολλαπλές λύσεις
και γενικεύσεις όπως σχεδιάσε ο Μιχάλης Λάμπρου
θα είναι δυνατόν να εκδοθεί σε ένα μικρό βιβλίο με κόστος 2-3 ευρώ.
Να είναι προσιτό σε όλους και να μην χρειάζεται ούτε καν να φωτοτυπηθεί.
Προχωράμε, στείλτε προβλήματα σε αυτό το πνεύμα και οι καλοί λύτες είναι εδώ. :idea: :roll:


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1313
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Άσκηση 19η: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#64

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Σάβ Φεβ 10, 2018 10:32 am

Το θέμα που προτείνουμε βασίζεται σε γνωστό θεώρημα.
Το σχήμα το έχω πάρει από σχετική ιστοσελίδα.

ΑΣΚΗΣΗ 19η:
Στο σχήμα δίνεται ένα σημείο και μια κλειστή γραμμή.
Να βρεθεί μια τακτική που να προσδιορίζει αν το σημείο βρίσκεται μέσα ή έξω από την κλειστή γραμμή.
Συνημμένα
για μονά ζυγά 1.jpg
για μονά ζυγά 1.jpg (46.35 KiB) Προβλήθηκε 184 φορές


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 637
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Άσκηση 19η: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#65

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Φεβ 11, 2018 10:09 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Σάβ Φεβ 10, 2018 10:32 am
ΑΣΚΗΣΗ 19η:
Στο σχήμα δίνεται ένα σημείο και μια κλειστή γραμμή.
Να βρεθεί μια τακτική που να προσδιορίζει αν το σημείο βρίσκεται μέσα ή έξω από την κλειστή γραμμή.
Αφού η γραμμή είναι κλειστή, ξεκινάμε από ένα σημείο που βρίσκεται έξω από το σχήμα και το ενώνουμε με μια ευθεία με το ζητούμενο σημείο. Κάθε φορά που διασταυρώνουμε την κλειστή γραμμή αλλάζουμε την κατάσταση: μέσα, έξω, μέσα, ... εναλλάξ.

Για συντομία ξεκινάμε έξω από το αριστερό τμήμα του σχήματος. Για να φτάσουμε στο ζητούμενο σημείο έχουμε 3 διασταυρώσεις, περιττός αριθμός, άρα το σημείο είναι μέσα από την κλειστή γραμμή.


Houston, we have a problem!
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9948
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση 19η: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#66

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 11, 2018 10:25 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Κυρ Φεβ 11, 2018 10:09 pm
Για συντομία ξεκινάμε έξω από το αριστερό τμήμα του σχήματος. Για να φτάσουμε στο ζητούμενο σημείο έχουμε 3 διασταυρώσεις, περιττός αριθμός, άρα το σημείο είναι μέσα από την κλειστή γραμμή.
Ωραιότατα.

Ας προσθέσω ότι έχουμε 3 διασταυρώσεις αν πάρουμε τον πιο σύντομο/σβέλτο δρόμο. Άλλη κατεύθυνση δίνει 5, \, 7, \, 9, \,11 διασταυρώσεις, πάντως περιττό πλήθος.

Ας επισημάνω οτι η άσκηση είναι απλή ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Jordan της Τοπολογίας για "απλές κλειστές καμπύλες", το οποίο είναι δύσκολο θεώρημα. Βλέπε λίγα σχόλια εδώ.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 637
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#67

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Φεβ 18, 2018 10:48 pm

Άσκηση 20η

Στο παιχνίδι της εικόνας μπορούμε να μετακινούμε την κενή θέση σύροντας κατάλληλα ένα γειτονικό της κομμάτι ώστε να καταλάβει τη θέση αυτή. Είναι δυνατό μετά από κάποιες κινήσεις η κενή θέση να βρίσκεται στο ίδιο σημείο αλλά να έχει γίνει αντιμετάθεση του 14 με το 15;
14-15-puzzle.png
14-15-puzzle.png (17.66 KiB) Προβλήθηκε 97 φορές


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 637
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#68

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Φεβ 24, 2018 12:24 am

Επαναφορά για όλους!


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης