Σύστημα

#1

Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{x^2 + y^2 + z^2 = 3}$

$\displaystyle{x^{-2} + y^{-2} + z^{-2} = 3}$

$\displaystyle{2x + 3y + z = - 4}$

(Για μαθητές Γ Γυμνασίου και Α Λυκείου, μέχρι 30 Νοεμβρίου)

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Πολλαπλασιάζουμε τις δύο πρώτες σχέσεις κατά μέλη και προκύπτει ότι:

$(x^2+y^2+z^2)(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2})=9$

Όμως από γνωστή ανισότητα ξέρουμε ότι για τους θετικούς πραγματικούς a, b, c

:

$(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\geq 9$ με ισότητα μόνο όταν a=b=c

.

Άρα αναγκαστικά x^2=y^2=z^2

και από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι x^2=y^2=z^2=1

Επομένως $x, y, z=\pm 1$

Παρατηρούμε στην τρίτη εξίσωση πως αν y=1

, τότε θα πρέπει 2x+z=-7

άτοπο, καθώς η ελάχιστη τιμή του 2x+z

είναι

.

Άρα

και

. Αν

, έχουμε άτοπο, καθώς $z\ne -3$ , άρα x=-1

και ως επακόλουθο z=1

.

Συνοψίζοντας η μοναδική λύση είναι (x, y, z)=(-1, -1, 1)

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση