Ανάλογα προς τις πλευρές (Β ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9043
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ανάλογα προς τις πλευρές (Β ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 14, 2017 7:03 pm

Ανάλογα προς τις  πλευρές.png
Ανάλογα προς τις πλευρές.png (15.86 KiB) Προβλήθηκε 99 φορές
Από τις κορυφές B,C σκαληνού τριγώνου \displaystyle ABC , φέρουμε τμήματα BD,CZ

κάθετα στην ευθεία της διαμέσου AM και BE , CH κάθετα στη διχοτόμο της \widehat{A} .

Δείξτε ότι : \dfrac{(CHZ)}{(BDE)}=\dfrac{b}{c} . Μέχρι την επέτειο της εξέγερσης του Πολυτεχνείου.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 559
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ανάλογα προς τις πλευρές (Β ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Νοέμ 14, 2017 11:34 pm

Ανάλογα προς τις πλευρές.png
Ανάλογα προς τις πλευρές.png (25.75 KiB) Προβλήθηκε 78 φορές
Έχουμε BD//CH, επομένως:

\dfrac{BD}{CZ}=\dfrac{BM}{CM}=1 \Rightarrow BD=CZ (1)

Από τις ορθές γωνίες που φαίνονται στο σχήμα προκύπτει ότι τα τετράπλευρα ABED και ACZH είναι εγγράψιμα. Άρα έχουμε:

\widehat{DBE}=\widehat{DAE}=\widehat{ZAH}=\widehat{ZCH} (2)

Επίσης, από τη διχοτόμο έχουμε \widehat{CAH}=\widehat{BAE}, άρα τα ορθογώνια τρίγωνα ACH και ABE είναι όμοια και ισχύει ότι:

\dfrac{CH}{BE}=\dfrac{b}{c} (3)

Από τις (1), (2) και (3) προκύπτει λοιπόν ότι:

\dfrac{(CHZ)}{(BDE)}=\dfrac{\frac{1}{2} \sin{\widehat{ZCH}} \cdot CZ \cdot CH}{\frac{1}{2} \sin{\widehat{DBE}} \cdot BD \cdot BE} = \dfrac{CH}{BE} = \dfrac{b}{c}


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6011
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανάλογα προς τις πλευρές (Β ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 15, 2017 8:02 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Νοέμ 14, 2017 7:03 pm
Ανάλογα προς τις πλευρές.pngΑπό τις κορυφές B,C σκαληνού τριγώνου \displaystyle ABC , φέρουμε τμήματα BD,CZ

κάθετα στην ευθεία της διαμέσου AM και BE , CH κάθετα στη διχοτόμο της \widehat{A} .

Δείξτε ότι : \dfrac{(CHZ)}{(BDE)}=\dfrac{b}{c} . Μέχρι την επέτειο της εξέγερσης του Πολυτεχνείου.
Ανάλογα....png
Ανάλογα....png (14.99 KiB) Προβλήθηκε 55 φορές
Η BE τέμνει την AC στο N. Είναι BD=CZ, BE=EN και οι πράσινες γωνίες ίσες ως οξείες με πλευρές παράλληλες.

\displaystyle \frac{{(CHZ)}}{{(BDE)}} = \frac{{CH \cdot CZ}}{{BD \cdot BE}} = \frac{{CH}}{{EN}} = \frac{{AC}}{{AN}} = \frac{b}{c}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης