Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου

#1

Με αφορμή αυτήν

: Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου και γωνίες.png (9.69 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

Έστω

σημείο του ύψους

ορθογωνίου τριγώνου ABC,

ώστε

Από το

φέρνουμε ευθεία κάθετη στην

που τέμνει την

στο

Αν

να δείξετε ότι οι BD, DH, HC

είναι μήκη πλευρών ορθογωνίου

τριγώνου και να βρείτε τις οξείες γωνίες του τριγώνου ABC.

Β' Λυκείου..................μέχρι 16/7/2017

Ορέστης Λιγνός · #2

Καλησπέρα!

Είναι $a=BC=DH+(BD+HC)=3DH \Rightarrow DH=\dfrac{a}{3}$ (1).

Ακόμη, $AB^2=BD \cdot BC \Rightarrow BD=\dfrac{c^2}{a}$ (2).

Έτσι, $ED^2=BD \cdot DH \mathop = \limits^{(1),(2)} \dfrac{c^2}{3}$ .

Άρα, $ED=\dfrac{c\sqrt{3}}{3}$ και $AE=\dfrac{c\sqrt{3}}{6}$ .

Οπότε, $AD=AE+ED=\dfrac{c\sqrt{3}}{6}+\dfrac{c\sqrt{3}}{3}=\dfrac{c\sqrt{3}}{2} \Rightarrow$

$\dfrac{AD}{c}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sin \widehat{B}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \widehat{B}=60^\circ$ (η τιμή $\widehat{B}=120^\circ$ απορρίπτεται, γιατί η $\widehat{B}$ είναι οξεία).

Άρα, $\boxed{\widehat{B}=60^\circ,\widehat{C}=30^\circ}$ .

Επίσης, $c=\dfrac{a}{2} \Rightarrow BD=\dfrac{c^2}{a}=\dfrac{a}{4}$ και $DH=\dfrac{a}{3}$ , άρα $HC=\dfrac{5a}{12}$ .

Παρατηρούμε τώρα ότι $BD^2+DH^2=\dfrac{a^2}{16}+\dfrac{a^2}{9}=\dfrac{25a^2}{144}=HC^2$ , και συνεπώς τα BD,DH,HC

αποτελούν πλευρές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα $HC=\dfrac{5a}{12}$ .

#3

1. Από τους συμβολισμούς στο σχήμα και λόγω της υπόθεσης έχω:

$u = 2x - v\,\,(1)$ και $\left\{ \begin{gathered} A{D^2} = BD \cdot DC \hfill \\ E{D^2} = BD \cdot DH \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 9{k^2} = u(x + v) \hfill \\ 4{k^2} = ux \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Με διαίρεση κατά μέλη προκύπτει: $\boxed{v = \frac{{5x}}{4} > x}\,\,(2)$ , επειδή δε

$x - u = v - x > 0 \Rightarrow v > x > u$ . Αρκεί τώρα να δείξω ότι ${v^2} = {x^2} + {u^2}$ που λόγω της

(1)

γράφεται ισοδύναμα: ${(2x - v)^2} + {x^2} = {v^2} \Leftrightarrow 5x = 4v$ που ισχύει λόγω της (2)

.

: πλευρές ορθγωνίου τριγώνου_Bisbikis.png (18.84 KiB) Προβλήθηκε 529 φορές

2. Από την προηγούμενη εξασφάλιση έχω $\dfrac{{25}}{{16}}{x^2} = {x^2} + {u^2} \Rightarrow \boxed{u = \dfrac{{3x}}{4}}\,\,(3)$ .

Δηλαδή BC = 3x

και $A{B^2} = BD \cdot BC = \dfrac{{3x}}{4} \cdot 3x = \dfrac{{9{x^2}}}{4} \Rightarrow \boxed{AB = \dfrac{{3x}}{2} = \dfrac{{BC}}{2}}$ που μας

εξασφαλίζει ότι το τρίγωνο $\vartriangle ABC \to (90^\circ ,60^\circ ,30^\circ )$ .

Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου

Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου

Re: Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου

Re: Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση