Ρόμβος (ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ )

KARKAR · #1

: Ρόμβος.png (17.9 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , έχει περίκεντρο

, ορθόκεντρο

και $\hat{A}=60^0$ .

Η διχοτόμος της $\hat{A}$ τέμνει τα ύψη BD,CE

στα σημεία S,P

αντίστοιχα .

Δείξτε , πριν τον προφήτη Ηλία , ότι το τετράπλευρο OSHP

, είναι ρόμβος .

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

: Ρόμβος.png (31.82 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές

Φέρνουμε από το

κάθετη στην

και έστω

τα σημεία τομής της με την

και τον περιγεγραμμένο κύκλο αντίστοιχα.

Έχουμε τώρα πως το BOCG

είναι ρόμβος, καθώς $\widehat{BOC}=2\cdot \widehat{BAC}=120^o, \widehat{BGC}=180^o-\widehat{BAC}=120^o$ και ακόμα τα τρίγωνα BOC

και

είναι ισοσκελή. Άρα OF=FG

, δηλαδή $OG=2\cdot OF$ .

Όμως από γνωστό λήμμα έχουμε πως $HA=2\cdot OF$ .

Επομένως έχουμε πως HA=OG=OA

, δηλαδή το τρίγωνο HAO

είναι ισοσκελές.

Όμως από άλλο γνωστό λήμμα έχουμε πως $\widehat{BAH}=\widehat{CAO}$ (Οι

και

είναι ισογώνιες), άρα αφού η

είναι διχοτόμος της $\widehat{BAC}$ , θα είναι και της $\widehat{HAO}$ . Επομένως η

είναι μεσοκάθετος του

, με άλλα λόγια θα είναι SH=SO

και

. Συνεπώς το HSOP

είναι χαρταετός.

Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε πως το HSOP

είναι παραλληλόγραμμο.

Θα αποδείξουμε πως HP//SO

.

Έχουμε πως

ύψος, άρα $HP\perp AB$ , άρα πρέπει και $SO\perp AB$ .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ABD

έχουμε πως $\widehat{SBA}=30^o$ , ενώ από τη διχοτόμο της $\widehat{BAC}$ , έχουμε πως και $\widehat{SAB}=30^o$ .

Επομένως το τρίγωνο ASB

είναι ισοσκελές. Όμως και το AOB

είναι ισοσκελές. Άρα η

είναι μεσοκάθετος της

, είναι λοιπόν $SO\perp AB$ .

Όμοια έχουμε και πως PO//HS

, άρα πράγματι το HSOP

είναι παραλληλόγραμμο και χαρταετός, δηλαδή ρόμβος.

Ορέστης Λιγνός · #3

Είναι $\widehat{HSP}=\widehat{ASD}=90^\circ-\dfrac{\widehat{A}}{2}=60^\circ$ και $\widehat{SHP}=\widehat{EHB}=\widehat{A}=60^\circ$ .

Άρα, το SHP

είναι ισόπλευρο, επομένως SH=SP=HP

(1).

Έστω ότι $Q \equiv OS \cap AB$ .

Είναι $\widehat{ABS}=30^\circ=\widehat{BAS} \Rightarrow SA=SB$ , και αφού OA=OB

, είναι $OS \perp AB \Rightarrow \widehat{QSB}=90^\circ-\widehat{QBS}=60^\circ \Rightarrow \widehat{DSO}=\widehat{QSB}=60^\circ$ , και συνεπώς $\widehat{DSO}=60^\circ$ και άρα $\widehat{OSP}=60^\circ$ , ενώ όμοια προκύπτει $\widehat{SPO}=60^\circ$ .

Έπεται ότι OS=OP=SP

(2).

Από (1), (2) OS=OP=SP=PH=HS

, και συνεπώς το OSHP

έχει όλες τις πλευρές ίσες, δηλαδή είναι ρόμβος.

KARKAR · #4

: Ρόμβος.png (18.68 KiB) Προβλήθηκε 633 φορές

Σας ευχαριστώ και τους δύο . Μια μίξη των λύσεών σας και με σχήμα . Οι γωνίες του SHP

είναι όλες 60-

ρες . Επειδή $OS\parallel PH$ και όμοια $OP\parallel SH$ , το παραλληλόγραμμο

OSHP

έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες , άρα είναι ρόμβος και μάλιστα πολύ ειδικός !

Ρόμβος (ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ )

Ρόμβος (ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ )

Re: Ρόμβος (ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ )

Re: Ρόμβος (ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ )

Re: Ρόμβος (ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ )

Μέλη σε σύνδεση