Βελτίωση ανισότητας: Διαγώνισμα 14 Π1

Γιάννης Μπόρμπας · #1

Αν

θετικοί πραγματικοί με άθροισμα

να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle{\frac{y^3z^3+2}{yz}+\frac{z^3x^3+2}{zx}+\frac{x^3y^3+2}{xy}\ge \frac{x^2+2}{x}+\frac{y^2+2}{y}+\frac{z^2+2}{z}}$
Πότε ισχύει η ισότητα;

Ορέστης Λιγνός · #2

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Αν θετικοί πραγματικοί με άθροισμα να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle{\frac{y^3z^3+2}{yz}+\frac{z^3x^3+2}{zx}+\frac{x^3y^3+2}{xy}\ge \frac{x^2+2}{x}+\frac{y^2+2}{y}+\frac{z^2+2}{z}}$
Πότε ισχύει η ισότητα;

Είναι (από ΑΜ-ΓΜ), $\displaystyle \sum_{cyc} \dfrac{(yz)^3+2}{2} \geqslant \sum_{cyc} \dfrac{2y^2z^2-yz+2}{2}$ .

Αρκεί λοιπόν $\displaystyle \sum_{cyc} \dfrac{2y^2z^2-yz+2}{2} \geqslant \sum_{cyc} \dfrac{x^2+2}{x} \mathop \Rightarrow \limits^{\textnormal{\gr πράξεις}} (1-xyz)(3-xy+yz+zx) \geqslant 0$ (1).

Όμως, $xyz \leqslant \dfrac{(x+y+z)^3}{27}=1$ , οπότε $1-xyz \geqslant 0$ (2).

Επίσης, $xy+yz+zx \leqslant \dfrac{(x+y+z)^2}{3}=3$ , οπότε $3-xy-yz-zx \geqslant 0$ (3).

Λόγω των (2),(3) ισχύει και η (1), οπότε η (1) δείχτηκε.

Το ίσον για x=y=z=1

.

Γιάννης Μπόρμπας · #3

Ωραία! Η ανισότητα είναι του luofangxiang (Aops).

Βελτίωση ανισότητας: Διαγώνισμα 14 Π1

Βελτίωση ανισότητας: Διαγώνισμα 14 Π1

Re: Βελτίωση ανισότητας: Διαγώνισμα 14 Π1

Re: Βελτίωση ανισότητας: Διαγώνισμα 14 Π1

Μέλη σε σύνδεση