Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 3
Συντονιστής: polysot
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 3
Διαγώνισμα 3 Επίπεδο: Ευκλείδης Γ' λυκείου.
Πρόβλημα 1
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με εγγεγραμμένο σε κύκλο και η διχοτόμος του .
Ο κύκλος τέμνει τον στα , την στο , και την
στο έτσι ώστε το να βρίσκεται μεταξύ των . Αν είναι το σημείο
τομής της με τον , να αποδείξετε ότι οι ευθείες:
συντρέχουν.
Πρόβλημα 2
Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση:
Πρόβλημα 3
Θεωρούμε τον -ψήφιο αριθμό: όπου
και ψηφία του τέτοια ώστε . Να αποδείξετε ότι ο δεν μπορεί
να είναι το τετράγωνο ενός ακεραίου.
Πρόβλημα 4
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις οι οποίες ικανοποιούν
την συναρτησιακή σχέση:
Πρόβλημα 1
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με εγγεγραμμένο σε κύκλο και η διχοτόμος του .
Ο κύκλος τέμνει τον στα , την στο , και την
στο έτσι ώστε το να βρίσκεται μεταξύ των . Αν είναι το σημείο
τομής της με τον , να αποδείξετε ότι οι ευθείες:
συντρέχουν.
Πρόβλημα 2
Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση:
Πρόβλημα 3
Θεωρούμε τον -ψήφιο αριθμό: όπου
και ψηφία του τέτοια ώστε . Να αποδείξετε ότι ο δεν μπορεί
να είναι το τετράγωνο ενός ακεραίου.
Πρόβλημα 4
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις οι οποίες ικανοποιούν
την συναρτησιακή σχέση:
τελευταία επεξεργασία από Γιάννης Μπόρμπας σε Πέμ Απρ 20, 2017 2:58 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς
Καλησπέρα Γιάννη!Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 3 Επίπεδο: Ευκλείδης Γ' λυκείου.
Πρόβλημα 2
Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση:
Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα (διαφορά τετραγώνων).
Η τελευταία ξαναγράφεται .
Θέτουμε , οπότε , δηλαδή .
Έτσι, , που δίνει ,
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς
Χάρη ευχαριστώ για την διευκρίνηση. Είχα γράψει το γράμμα στα ελληνικά οπότε δεν το έβγαζε.
Ωραία Ορέστη! Μία άλλη προσέγγιση είναι η εξής.
Θεωρούμε το πολυώνυμο:
Στην συνέχεια παρατηρούμε ότι: οπότε μπορούμε
να γράψουμε το στην μορφή: και
πράγματι οπότε η εξίσωση
γίνεται: . Αν θέσουμε
τότε η εξίσωση γράφεται: . Και προκύπτουν οι
λύσεις που έδωσε ο Ορέστης.
Ωραία Ορέστη! Μία άλλη προσέγγιση είναι η εξής.
Θεωρούμε το πολυώνυμο:
Στην συνέχεια παρατηρούμε ότι: οπότε μπορούμε
να γράψουμε το στην μορφή: και
πράγματι οπότε η εξίσωση
γίνεται: . Αν θέσουμε
τότε η εξίσωση γράφεται: . Και προκύπτουν οι
λύσεις που έδωσε ο Ορέστης.
τελευταία επεξεργασία από Γιάννης Μπόρμπας σε Πέμ Απρ 20, 2017 3:19 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς
Για έχουμεΓιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 3
Πρόβλημα 4
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις οι οποίες ικανοποιούν
την συναρτησιακή σχέση:
Για παίρνουμε
Για παίρνουμε άρα η είναι και επί.
Για παίρνουμε .
Για παίρνουμε
Αντικαθιστώντας στην αρχική βλέπουμε πως μοναδική λύση είναι η
Edit: Είναι και η
τελευταία επεξεργασία από Friedoon σε Πέμ Απρ 20, 2017 7:22 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς
Δυστυχώς νομίζω πως υπάρχει ένα κενό. Αν θεωρείς το ως την τομή του με την , δεν έχεις αποδείξει ότι τα είναι συνευθειακά. Αν από την άλλη θεωρείς ότι το είναι η τομή των και , δεν έχεις αποδείξει ότι τα, είναι συνευθειακά. Παρόλα αυτά η ιδέα είναι καταπληκτική. Μια ιδέα θα ήταν να αποδείξουμε πως , όπου η τομή των και .ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Καλησπέρα! Το πρέπει να γίνει αν δεν κάνω λάθος. Παρουσιάζω την λύση μου αλλά επέιδη είμαι σχεδόν σίγουρος ότι είναι λάθος διορθώστε την . . .Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 3 Επίπεδο: Ευκλείδης Γ' λυκείου.
Πρόβλημα 1
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με εγγεγραμμένο σε κύκλο και η διχοτόμος του .
Ο κύκλος τέμνει τον στα , την στο , και την
στο έτσι ώστε το να βρίσκεται μεταξύ των . Αν είναι το σημείο
τομής της ΑΧ με τον , να αποδείξετε ότι οι ευθείες:
συντρέχουν.
Η είναι ο ριζικός άξονας των δύο κύκλων. Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι ή πιο απλά ότι τα τρίγωνα είναι όμοια. Ομως και το ζητούμενο έπεται
Houston, we have a problem!
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς
Διονύση έχεις δίκιο. Απομένει λοιπόν να αποδείξουμε ότι το είναι εγγράψιμο!Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Δυστυχώς νομίζω πως υπάρχει ένα κενό. Αν θεωρείς το ως την τομή του με την , δεν έχεις αποδείξει ότι τα είναι συνευθειακά. Αν από την άλλη θεωρείς ότι το είναι η τομή των και , δεν έχεις αποδείξει ότι τα, είναι συνευθειακά. Παρόλα αυτά η ιδέα είναι καταπληκτική. Μια ιδέα θα ήταν να αποδείξουμε πως , όπου η τομή των και .ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Καλησπέρα! Το πρέπει να γίνει αν δεν κάνω λάθος. Παρουσιάζω την λύση μου αλλά επέιδη είμαι σχεδόν σίγουρος ότι είναι λάθος διορθώστε την . . .Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 3 Επίπεδο: Ευκλείδης Γ' λυκείου.
Πρόβλημα 1
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με εγγεγραμμένο σε κύκλο και η διχοτόμος του .
Ο κύκλος τέμνει τον στα , την στο , και την
στο έτσι ώστε το να βρίσκεται μεταξύ των . Αν είναι το σημείο
τομής της ΑΧ με τον , να αποδείξετε ότι οι ευθείες:
συντρέχουν.
Η είναι ο ριζικός άξονας των δύο κύκλων. Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι ή πιο απλά ότι τα τρίγωνα είναι όμοια. Ομως και το ζητούμενο έπεται
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς
Ακριβώς!ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: Διονύση έχεις δίκιο. Απομένει λοιπόν να αποδείξουμε ότι το είναι εγγράψιμο!
Έστω πως . Προφανώς . Εύκολα βρίσκουμε πως . Όμως το είναι ισοσκελές, άρα θα είναι και .
Ακόμα είναι , άρα .
Επειδή η είναι η αντίστοιχη εγγεγραμμένη της επίκεντρης , έχουμε πως .
Πράγματι λοιπόν το είναι εγγράψιμο.
Houston, we have a problem!
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Ακριβώς!ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: Διονύση έχεις δίκιο. Απομένει λοιπόν να αποδείξουμε ότι το είναι εγγράψιμο!
Έστω πως . Προφανώς . Εύκολα βρίσκουμε πως . Όμως το είναι ισοσκελές, άρα θα είναι και .
Ακόμα είναι , άρα .
Επειδή η είναι η αντίστοιχη εγγεγραμμένη της επίκεντρης , έχουμε πως .
Πράγματι λοιπόν το είναι εγγράψιμο.
- Συνημμένα
-
- Στιγμιότυπο 2017-04-20, 4.09.39 μ.μ..png (85.24 KiB) Προβλήθηκε 1297 φορές
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 3
Μία τελευταία προσπάθεια ...Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:
Πρόβλημα 3
Θεωρούμε τον -ψήφιο αριθμό: όπου
και ψηφία του τέτοια ώστε . Να αποδείξετε ότι ο δεν μπορεί
να είναι το τετράγωνο ενός ακεραίου.
Έστω προς άτοπο ότι τέλειο τετράγωνο, έστω , με .
Θα αποδείξουμε το εξής:
Ισχυρισμός
Ο αριθμός διαιρείται με το , όχι όμως και με το .
Απόδειξη
Είναι , πράγμα που αποδεικνύει το πρώτο σκέλος του Ισχυρισμού μας.
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι ο δεν διαιρεί το .
Από τις ισοτιμίες , αρκεί να δειχτεί ότι ο δεν διαιρεί το .
Έστω προς άτοπο ότι .
Τότε .
Άρα, , με .
Αν , , άτοπο.
Αν , , η οποία είναι αδύνατη, αφού .
Αν , , άτοπο.
Αν , , άτοπο.
Άρα, υποχρεωτικά, και .
Χρησιμοποιώντας ότι , παίρνουμε ως λύσεις τα ζεύγη και .
Είναι, , με - άρια, το καθένα με ψηφία.
Έτσι ,
.
Παρατηρούμε ότι για , και για , ο αριθμός διαιρείται με , όχι όμως και με .
Για να είναι τέλειο τετράγωνο ο , πρέπει .
Όμως, , άτοπο.
Ο ισχυρισμός αποδείχτηκε.
Ας συνεχίσουμε την απόδειξη.
Είναι .
Από την και ότι ο δεν διαιρεί το (από τον Ισχυρισμό), πρέπει και
Όμως, , άτοπο.
Το ζητούμενο είναι άμεσο.
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Παρ Απρ 21, 2017 2:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 3
Άψογα!
τελευταία επεξεργασία από Γιάννης Μπόρμπας σε Παρ Απρ 21, 2017 2:07 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης