Εμβαδόν τριγώνου από μήκη πλευρών

[Γιώργος Απόκης]

Δίνεται τρίγωνο με

α) Να βρείτε το μήκος του ύψους

β) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου


(Γ' Γυμνασίου - Μέχρι 19/2/17)

[Γιώργος Απόκης]

Επαναφέρω για τους μαθητές, με μια μικρή υπόδειξη

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Πυθαγόρειο στα δύο ορθογώνια τρίγωνα

[Γιώργος Μήτσιος]

Καλημέρα ! Ας δώσω Γιώργο σύντομη απάντηση ..λόγω της επιθυμίας μου να ήμουν (και ηλικιακά ) μαθητής..
θέτοντας -με την ευκαιρία- και ένα ζητούμενο στο τέλος.

Με χρήση του Πυθαγορείου στα δύο ορθ. τρίγωνα παίρνουμε τις εξισώσεις : και .
Αφαιρώντας τες κατά μέλη και με χρήση της ταυτότητας

προκύπτει και .

Συνεπώς

Και το νέο ζητούμενο : Να βρεθούν διψήφιοι αριθμοί που να αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα και όταν ενωθούν
(όχι ,κατ' ανάγκην , σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά ) σε ένα εξαψήφιο , αυτός να είναι καρκινικός (παλινδρομικός ) αριθμός

όπως λ.χ , μόνο που οι αποτελούν μη Πυθαγόρεια τριάδα..

Φιλικά , Γιώργος .

[Γιώργος Απόκης]

Καλημέρα Γιώργο, ευχαριστώ για την ενασχόληση!

[Christos.N]

Και το νέο ζητούμενο : Να βρεθούν διψήφιοι αριθμοί που να αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα και όταν ενωθούν
(όχι ,κατ' ανάγκην , σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά ) σε ένα εξαψήφιο , αυτός να είναι καρκινικός (παλινδρομικός ) αριθμός

όπως λ.χ , μόνο που οι αποτελούν μη Πυθαγόρεια τριάδα..

Φιλικά , Γιώργος .

ο τα έχει όλα και συμφέρει!

[Mihalis_Lambrou]

ο τα έχει όλα και συμφέρει!

Αυτόν βρήκα και εγώ, ως την μοναδική λύση εκτός από αναδιάταξη (*) της μορφής με μία από τις καθέτους. (Δεν κοίταξα την περίπτωση όπου η υποτείνουσα).

(*) Εννοώ την δίδυμή της λύση

[Mihalis_Lambrou]

Αξίζει να γράψω μερικά σχόλια, ιδίως ιστορικά.

Γενικεύοντας την λύση του φίλου Γιώργου Μήτσιου παραπάνω, έχουμε απόδειξη του λεγόμενου τύπου του Ήρωνα, , όπου . Η απόδειξη υπάρχει στο Σχολικό βιβλίο.

Υπάρχουν πολλές απόδείξεις του τύπου του Ήρωνα. Για παράδειγμα στο

http://johnng.inscyber.net/proof-withou ... -heron.pdf

υπάρχουν παραπομπές (σελίς ) για αποδείξεις, αλλά στο αρχείο μου έχω πολλές άλλες.

Ο τύπος του Ήρωνα δεν υπάρχει στα Στοιχεία του Ευκλείδη, αλλά πρωτοεμφανίζεται στα Μετρικά του Ήρωνα. Η απόδειξη είναι τελείως διαφορετική από τις παραπάνω. Για αγγλική μετάφραση (δεν βρίσκω ελληνική διαδυκτιακή παραπομπή ) βλέπε

http://galileoandeinstein.physics.virgi ... Heron.html

Κατά τους Άραβες Μεσαιωνικούς σχολιαστές ο τύπος του Ήρωνα οφείλεται στον Αρχιμήδη, αλλά δεν σώζεται ελληνικό κείμενο με την ίδια αναφορά. Ενστερνίζομαι την ίδια γνώμη αλλά δεν είναι επί του προκειμένου να δώσω επιχειρήματα.

Μια άλλη ωραία απόδειξη του τύπου του Ήρωνα οφείλεται στον Euler το 1748. Βλέπε στο

http://galileoandeinstein.physics.virgi ... Heron.html

(σελίδες 5-7) αλλά καλύτερα αναζητείστε από τις παραπομπές το πρωτότυπο κείμενο του Euler. Ναι, θα χρειαστεί να φρεσκάρετε τα Λατινικά σας, αλλά αξίζει τον κόπο.

[Γιώργος Μήτσιος]

Γεια σας ! Χρήστο σ' ευχαριστώ για την κομψή απάντηση. Να ευχαριστήσουμε βεβαίως τον κ. Μιχάλη Λάμπρου και για τον εμπλουτισμό (!) του θέματος .

Ενα ευχαριστώ και στον θεματοθέτη Γιώργο για την προβολή του αξιόλογου ..τριγώνου ,του οποίου :
Οι πλευρές είναι διαδοχικοί ακέραιοι , το εμβαδόν του και η ακτίνα του έγκυκλου επίσης ακέραιοι και όχι μόνο..
Το ύψος μας δίνει αφενός το ορθ. τρίγωνο ,όμοιο με αυτό της πλέον γνωστής Πυθαγόρειας τριάδας (Π.Τ)
και αφετέρου το ορθ. , στο οποίο πολ/ντας τα μήκη με το προκύπτει η Π.Τ .

Ίσως είναι η μόνη (;) Πυθαγόρεια τριάδα διψήφιων που παράγει τους δίδυμους παλινδρομικούς που είδαμε !

Φιλικά Γιώργος

[Γιώργος Απόκης]

Σας ευχαριστώ κι εγώ με τη σειρά μου για τις ιδέες και τις παραπομπές!