Γ' Λυκείου - Με θεωρήματα
Συντονιστής: polysot
Γ' Λυκείου - Με θεωρήματα
Συνεχίζω με μία ακόμα κατασκευή...
Άσκηση 1 Έστω ή δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση . Αν η είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό τέτοιο, ώστε: Άσκηση 2 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα .
Μέχρι 12/12/2016.
Φιλικά,
Μάριος
*Προστέθηκε ερώτημα (1:21 π.μ.)
Άσκηση 1 Έστω ή δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση . Αν η είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό τέτοιο, ώστε: Άσκηση 2 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα .
Μέχρι 12/12/2016.
Φιλικά,
Μάριος
*Προστέθηκε ερώτημα (1:21 π.μ.)
τελευταία επεξεργασία από M.S.Vovos σε Τετ Δεκ 07, 2016 1:23 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Γ' Λυκείου - Με θεωρήματα
Ναι Σταυρο! Αμα βιάζεσαι να φύγεις...
Ας το κάνουμε το σύνολο των πραγματικών.
Φιλικά,
Μάριος
Ας το κάνουμε το σύνολο των πραγματικών.
Φιλικά,
Μάριος
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Re: Γ' Λυκείου - Με θεωρήματα
Επαναφορά για όλους!
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Γ' Λυκείου - Με θεωρήματα
[quote="M.S.Vovos"]Συνεχίζω με μία ακόμα κατασκευή...
Άσκηση 1 Έστω ή δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση . Αν η είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό τέτοιο, ώστε:
Φιλικά,
Μάριος
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια για την πρώτη ...
Θεωρώ την συνάρτηση
Είναι , αφού γνησίως αύξουσα.
Επίσης ισχύει
Εφαρμόζοντας 2 ΘΜΤ στην στα διαστήματα και , αντιστοίχως προκύπτει:
και με
Συνεπώς έχουμε : διότι η είναι γνησίως αύξουσα επειδή η
είναι κυρτή.
Επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano για την στο .
Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο, ώστε: ,
δηλαδή .
Επίσης , διότι η είναι γνησίως αύξουσα επειδή η είναι κυρτή.
Άρα γνησίως αύξουσα , συνεπώς το : μοναδικό.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Άσκηση 1 Έστω ή δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση . Αν η είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό τέτοιο, ώστε:
Φιλικά,
Μάριος
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια για την πρώτη ...
Θεωρώ την συνάρτηση
Είναι , αφού γνησίως αύξουσα.
Επίσης ισχύει
Εφαρμόζοντας 2 ΘΜΤ στην στα διαστήματα και , αντιστοίχως προκύπτει:
και με
Συνεπώς έχουμε : διότι η είναι γνησίως αύξουσα επειδή η
είναι κυρτή.
Επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano για την στο .
Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο, ώστε: ,
δηλαδή .
Επίσης , διότι η είναι γνησίως αύξουσα επειδή η είναι κυρτή.
Άρα γνησίως αύξουσα , συνεπώς το : μοναδικό.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
-
- Δημοσιεύσεις: 296
- Εγγραφή: Τρί Ιούλ 15, 2014 11:37 pm
Re: Γ' Λυκείου - Με θεωρήματα
Την προς επίλυση εξίσωση, ισοδύναμα μπορούμε να τη γράψουμε ως .M.S.Vovos έγραψε: Άσκηση 2 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα .
Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο με για κάθε (καθώς η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι αρνητική).
Επομένως, η είναι γνησίως αύξουσα στο . Επίσης,
και .
Οπότε, λόγω του Θ. Bolzano, η έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο και επειδή η είναι γνησίως μονότονη, αυτή θα είναι μοναδική. Άρα, η ισοδύναμη δοθείσα εξίσωση, θα έχει μία ακριβώς ρίζα στο ίδιο διάστημα.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες