Ρυθμός μεταβολής σε καμπύλη

#1

(Γ Λυκείου - Διαφορικός - Μέχρι 23/11 )

Σημείο $\displaystyle{A}$ κινείται πάνω στον ημιάξονα $\displaystyle{Ox}$ , απομακρυνόμενο απ΄το $\displaystyle{O}$ , με ταχύτητα $\displaystyle{1cm/s}$ και σημείο $\displaystyle{B}$ πάνω στην καμπύλη
με εξίσωση $\displaystyle{f(x)={{x}^{2}}\,\,,\,\,\,x\le 0}$ και η τετμημένη του μειώνεται με ρυθμό $\displaystyle{2cm/s}$
Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης $\displaystyle{AB}$ τη χρονική στιγμή κατά την οποία το $\displaystyle{A}$ βρίσκεται στη θέση $\displaystyle{(1,0)}$ και το Β στη θέση $\displaystyle{(-2,4)}$ .

Γιώργος Απόκης · #2

Aφού έμεινε...

Την τυχαία χρονική στιγμή $\displaystyle{t}$ θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle{A(a(t),0),~B(b(t),b^2(t))}$ με $\displaystyle{a'(t)=1,~ b'(t)=-2}$ .

Η απόστασή τους είναι ίση με $\displaystyle{d(t)=(AB)=\sqrt{(a(t)-b(t))^2+b^4(t)}}$ η οποία έχει παράγωγο

(ρυθμό μεταβολής ως προς το χρόνο) ίση με

$\displaystyle{d'(t)=\frac{2(a(t)-b(t))(a'(t)-b'(t))+4b^3(t)b'(t)}{2d(t)}=\frac{(a(t)-b(t))(a'(t)-b'(t))+2b^3(t)b'(t)}{d(t)}}$ .

Tη χρονική στιγμή $\displaystyle{t_0}$ κατά την οποία $\displaystyle{A(1,0),~B(-2,4)}$ έχουμε :

$\displaystyle{a(t_0)=1,~b(t_0)=-2,~a'(t_0)=1,~ b'(t_0)=-2,~d(t_0)=\sqrt{3^2+4^2}=5}$ . Με αντικατάσταση :

$\displaystyle{d'(t_0)=\frac{(1+2)(1+2)-16\cdot(-2)}{5}=\frac{41}{5}~cm/sec}$

Ρυθμός μεταβολής σε καμπύλη

Ρυθμός μεταβολής σε καμπύλη

Re: Ρυθμός μεταβολής σε καμπύλη

Μέλη σε σύνδεση