Για κάθε ή Για οποιοδήποτε ;

selas · #1

Στο σχολικό βιβλίο της Γ Λυκείου δίνονται οι ορισμοί
Μια συνάρτηση

θα λέμε ότι είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα $\Delta$ του πεδίου ορισμού της , όταν για οποιαδήποτε με ισχύει ....

Μια συνάρτηση λέγεται συνάρτηση 1-1 , όταν για οποιαδήποτε ισχύει η συνεπαγωγή ...

Η ερώτηση είναι , αν αντί της έκφρασης " για οποιοδήποτε " βάλουμε " για κάθε " ο ορισμός θα είναι σωστός ;

Κατά την άποψή μου το σωστό είναι " για οποιοδήποτε " γιατί περιέχει την τυχαιότητα επιλογής , πράγμα που χρειάζομαι όταν κάνω απόδειξη με τη βοήθεια του ορισμού , ενώ το " για κάθε" περιέχει καθολικότητα , που είναι δύσκολο να επικαλεστώ όταν κάνω απόδειξη με ορισμό .

Παρακαλώ όποιος θέλει ας με βοηθήσει να λύσω αυτή την απορία .

Ευχαριστώ για το χρόνο σας .

#2

selas έγραψε:Στο σχολικό βιβλίο της Γ Λυκείου δίνονται οι ορισμοί
Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα $\Delta$ του πεδίου ορισμού της , όταν για οποιαδήποτε με ισχύει ....

Μια συνάρτηση λέγεται συνάρτηση 1-1 , όταν για οποιαδήποτε ισχύει η συνεπαγωγή ...

Η ερώτηση είναι , αν αντί της έκφρασης " για οποιοδήποτε " βάλουμε " για κάθε " ο ορισμός θα είναι σωστός ;

Κατά την άποψή μου το σωστό είναι " για οποιοδήποτε " γιατί περιέχει την τυχαιότητα επιλογής , πράγμα που χρειάζομαι όταν κάνω απόδειξη με τη βοήθεια του ορισμού , ενώ το " για κάθε" περιέχει καθολικότητα , που είναι δύσκολο να επικαλεστώ όταν κάνω απόδειξη με ορισμό .

Παρακαλώ όποιος θέλει ας με βοηθήσει να λύσω αυτή την απορία .

Ευχαριστώ για το χρόνο σας .

Οι εκφράσεις "για κάθε", "για οποιαδήποτε", "για όλα" λένε ακριβώς το ίδιο πράγμα. 'Ολες προϋποθέτουν αυθαίρετη επιλογή δηλαδή ότι τα x_1

,

δεν αποτελούν ειδικες περιπτώσεις αριθμών του διαστήματος που εξετάζουμε την μονοτονία, δεν έχουν κάποιες ξεχωριστές ιδιότητες πέραν του να ανήκουν στο διάστημα κτλ.
ΥΓ Και μην ξεχνάς να γράφεις όλα τα μαθηματικά σύμβολα σε $\LaTeX$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Είναι σωστότατος.
π.χ ΚΑΠΠΟΣ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ SPIVAK στα Ελληνικά
χρησιμοποιούν το "για κάθε"
Πάντα θα πρέπει να αναφέρουμε που "βόσκει" το "για κάθε".
π,χ αν έχουμε $f:[-2,4]\rightarrow \mathbb{R}$
που έχει μέγιστο στο 1 θα πρέπει να γράψουμε
$f(x)\leq f(1)$
για κάθε $x\epsilon [-2,4]$ .

#4

Πριν αρκετά χρόνια ... ένας κριτής είχε γράψει στην αναφορά του (referee's report) για μια εργασία μου, από κοινού με συνάδελφο, ότι δεν πρέπει να γράφουμε for any αλλά for every ... όταν εννοούμε "για κάθε" ή, ενδεχομένως, "για οποιαδήποτε": το επιχείρημα του ήταν ότι όταν κάποιος γράφει για "τυχόν" ("αυθαίρετο"), δηλαδή any, τότε μπορεί κάτι να ισχύει για μια (όχι και τόσο) τυχούσα επιλογή μας και να μην ισχύει γενικά, κλπ κλπ Θεωρήσαμε σωστό μεν το σχόλιο, αλλά υπερβολικό -- από τότε πάντως I wouldn't be caught dead writing "any" instead of "every" (ούτε νεκρός δεν θα έγραφα "τυχόν" αντί "κάθε", και νομίζω θα απέφευγα ακόμη και το "οποιοδήποτε" ... ύστερα από την ως άνω τραυματική εμπειρία)

selas · #5

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ για τις διευκρινίσεις .

#6

gbaloglou έγραψε:Πριν αρκετά χρόνια ... ένας κριτής είχε γράψει στην αναφορά του (referee's report) για μια εργασία μου, από κοινού με συνάδελφο, ότι δεν πρέπει να γράφουμε for any αλλά for every ... όταν εννοούμε "για κάθε" ή, ενδεχομένως, "για οποιαδήποτε": το επιχείρημα του ήταν ότι όταν κάποιος γράφει για "τυχόν" ("αυθαίρετο"), δηλαδή any, τότε μπορεί κάτι να ισχύει για μια (όχι και τόσο) τυχούσα επιλογή μας και να μην ισχύει γενικά, κλπ κλπ Θεωρήσαμε σωστό μεν το σχόλιο, αλλά υπερβολικό -- από τότε πάντως I wouldn't be caught dead writing "any" instead of "every" (ούτε νεκρός δεν θα έγραφα "τυχόν" αντί "κάθε", και νομίζω θα απέφευγα ακόμη και το "οποιοδήποτε" ... ύστερα από την ως άνω τραυματική εμπειρία)

Γιώργο, υπάρχουν περιπτώσεις όπου το "for any" είναι ασαφές. Δες π.χ. εδώ.

Ας δώσω και ένα παράδειγμα στα Ελληνικά:

Πρόταση 1:
«Για οποιοδήποτε πραγματικό

ισχύει ότι $x^2 \geqslant 0$ »
Εδώ το «για οποιοδήποτε» χρησιμοποιήθηκε στην θέση του «για κάθε».

Πρόταση 2:
«Έστω συνεχής συνάρτηση

με

. Αν για οποιοδήποτε πραγματικό

έχουμε

τότε υπάρχει πραγματικός

με

.»
Εδώ το «για οποιοδήποτε» χρησιμοποιήθηκε στην θέση του «υπάρχει».

Επειδή λοιπόν υπάρχει περίπτωση το «για οποιοδήποτε» να χρησιμοποιηθεί και στην θέση του «για κάθε» αλλά και στην θέση του «υπάρχει» είναι καλύτερα να μην το χρησιμοποιούμε. Ίσως η Πρόταση 2 να είναι λίγο τραβηγμένη αλλά στα Αγγλικά είναι πολύ πιθανό κάποιος να γράψει το "for any". Πιο επικίνδυνο στα Ελληνικά σε αυτό το πλαίσιο είναι η χρήση του «για τυχόν».

Για κάθε ή Για οποιοδήποτε ;

Για κάθε ή Για οποιοδήποτε ;

Re: Για κάθε ή Για οποιοδήποτε ;

Re: Για κάθε ή Για οποιοδήποτε ;

Re: Για κάθε ή Για οποιοδήποτε ;

Re: Για κάθε ή Για οποιοδήποτε ;

Re: Για κάθε ή Για οποιοδήποτε ;

Μέλη σε σύνδεση