Υπερβατικός αριθμός

Συντονιστής: nkatsipis

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7357
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Υπερβατικός αριθμός

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Demetres » Τρί Ιουν 06, 2017 5:50 pm

Με αφορμή αυτό, να δειχθεί ότι το \arctan(1/2) είναι υπερβατικός αριθμός.

Παρεμπιπτόντως, ο wolframalpha λέει ότι είναι άγνωστο αν ο συγκεκριμένος αριθμός είναι υπερβατικός.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1228
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Υπερβατικός αριθμός

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από dement » Τετ Ιουν 07, 2017 9:16 am

Έστω \displaystyle \tan^{-1} \left( 1/2 \right) = a. Τότε \displaystyle e^{ai} = \frac{2+i}{\sqrt{5}}, που είναι αλγεβρικός.

Έτσι, από το θεώρημα Lindemann-Weierstrass, ο ai, ως μη μηδενικός, θα πρέπει να είναι υπερβατικός (και ομοίως και ο a).
τελευταία επεξεργασία από dement σε Τετ Ιουν 07, 2017 9:44 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7357
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Υπερβατικός αριθμός

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Demetres » Τετ Ιουν 07, 2017 9:39 am

Πολύ ωραία.

Φαντάζομαι χρησιμοποίησες τον τύπο \displaystyle{ e^{ai} = \cos(a) + i\sin(a)}, σωστά; Εγώ χρησιμοποίησα το \displaystyle{ \tan(a) = \frac{e^{ia} - e^{-ia}}{i(e^{ia} + e^{-ia})}.} Κατέληξα στο \displaystyle{ e^{2ai } = \frac{2+i}{2-i}} από το οποίο πάλι έπεται το συμπέρασμα με τον ίδιο τρόπο.

Κανονικά ο wolframalpha θα έπρεπε να λέει «Δεν γνωρίζω» παρά «Είναι άγνωστο». Ας αφήσει το «άγνωστο» για τα e+\pi,\gamma κ.τ.λ.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2859
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Υπερβατικός αριθμός

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Tolaso J Kos » Πέμ Ιουν 08, 2017 5:24 pm

Παρόμοιο με Lindemann είχαμε δει στο θέμα εδώ.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης