Λύσεις Διοφαντικής Εξίσωσης
Συντονιστής: nkatsipis
Λύσεις Διοφαντικής Εξίσωσης
Γειά σας!
Βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:
Σκέφτηκα τα εξής:
Από το θεώρημα του Fermat:
Οπότε η εξίσωση ισχύει .
Ήθελα να το επαληθεύσω,επιλέγοντας το .
Σε αυτή την περίπτωση , .
Έχω κάνει κάποιο λάθος;
Βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:
Σκέφτηκα τα εξής:
Από το θεώρημα του Fermat:
Οπότε η εξίσωση ισχύει .
Ήθελα να το επαληθεύσω,επιλέγοντας το .
Σε αυτή την περίπτωση , .
Έχω κάνει κάποιο λάθος;
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Λύσεις Διοφαντικής Εξίσωσης
Καλησπέρα.
Σοβαρά σφάλματα ως προς τον τρόπο λογικής που έχεις.
Καταρχήν το το προσπερνώ ως τυπογραφικό.
Στο σημείο που συμπεραίνεις ότι
ισχύει για κάθε .
Άρα και η εξίσωση είναι αληθής για κάθε .
Εδώ υπάρχει λάθος .
Δεδομένου ότι ένα μέρος του προβλήματος είναι αληθές το γενικεύεις .
Η γενίκευση σε οδήγησε και στην λάθος λύση σου.
Με την λογική σου θα μπορούσες να πεις το εξής
Θέλω να αποδείξω ότι οι γάτες έχουν 4 πόδια.
Έστω ότι οι γάτες έχουν 4 πόδια.
Ξέρω ότι οι γάτες είναι ζώα και αυτό ισχύει για κάθε γάτα.
Άρα το ότι οι γάτες έχουν 4 πόδια ισχύει για κάθε γάτα.
Σοβαρά σφάλματα ως προς τον τρόπο λογικής που έχεις.
Καταρχήν το το προσπερνώ ως τυπογραφικό.
Στο σημείο που συμπεραίνεις ότι
ισχύει για κάθε .
Άρα και η εξίσωση είναι αληθής για κάθε .
Εδώ υπάρχει λάθος .
Δεδομένου ότι ένα μέρος του προβλήματος είναι αληθές το γενικεύεις .
Η γενίκευση σε οδήγησε και στην λάθος λύση σου.
Με την λογική σου θα μπορούσες να πεις το εξής
Θέλω να αποδείξω ότι οι γάτες έχουν 4 πόδια.
Έστω ότι οι γάτες έχουν 4 πόδια.
Ξέρω ότι οι γάτες είναι ζώα και αυτό ισχύει για κάθε γάτα.
Άρα το ότι οι γάτες έχουν 4 πόδια ισχύει για κάθε γάτα.
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
Re: Λύσεις Διοφαντικής Εξίσωσης
Δηλαδή δεν ισχύει ;Αρχιμήδης 6 έγραψε:Καλησπέρα.
Σοβαρά σφάλματα ως προς τον τρόπο λογικής που έχεις.
Καταρχήν το το προσπερνώ ως τυπογραφικό.
Στο σημείο που συμπεραίνεις ότι
ισχύει για κάθε .
Άρα και η εξίσωση είναι αληθής για κάθε .
Εδώ υπάρχει λάθος .
Re: Λύσεις Διοφαντικής Εξίσωσης
Διαγραφή της λύσης λόγω λάθους.
τελευταία επεξεργασία από gavrilos σε Σάβ Αύγ 16, 2014 1:25 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιώργος Γαβριλόπουλος
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Λύσεις Διοφαντικής Εξίσωσης
Gavrilos και όμως το ζεύγος την επαληθεύει.
Μην ρωτήσεις πως το βρήκα.
Μην ρωτήσεις πως το βρήκα.
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Λύσεις Διοφαντικής Εξίσωσης
Αν μηδενίζει και προκύπτει η λύση
Αν τότε
Αν περιττός τότε
Άρα υπάρχουν ακέραιοι ώστε
, η
,
Το δεύτερο σύστημα μας δίνει προφανώς μόνο την λύση άρα (την έχω ήδη)
Για το πρώτο σύστημα...
, , περιττός.
άρα αδύνατον .
Αποδείξαμε ότι για περιττό δεν έχω λύση.
Για άρτιο άλλη στιγμή γιατί είναι αρκετές υποπεριπτώσεις .
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Λύσεις Διοφαντικής Εξίσωσης
Συνεχίζω από εκεί που σταμάτησα....Αρχιμήδης 6 έγραψε:
Αν μηδενίζει και προκύπτει η λύση
Αν τότε
Αν περιττός τότε
Άρα υπάρχουν ακέραιοι ώστε
, η
,
Το δεύτερο σύστημα μας δίνει προφανώς μόνο την λύση άρα (την έχω ήδη)
Για το πρώτο σύστημα...
, , περιττός.
άρα αδύνατον .
Αποδείξαμε ότι για περιττό δεν έχω λύση.
Για άρτιο άλλη στιγμή γιατί είναι αρκετές υποπεριπτώσεις .
Αν άρτιος
Βλέπω ότι τότε
Για την περίπτωση που
Εδώ είναι εμφανές ότι
Σε αυτή την περίπτωση θα ισχύει ότι
άρα
έχω 2 περιπτώσεις.
, η
,
Για την πρώτη περίπτωση είναι εύκολο να διαπιστώσω ότι μοναδική λύση είναι ,
Για την δεύτερη περίπτωση.. ,
Αν περιττός τότε , άρα Αδύνατον.
Αν άρτιος τότε , οπότε
Η παράσταση δεν είναι ποτέ πολλαπλάσιο του οπότε , άρα υπάρχουν ακέραιοι ώστε
, περιττοί
Αθροίζοντας θα έχω
περιττός
,
η , με . άρα περιττοί
Σε κάθε περίπτωση η και αφού περιττοί τότε
Σε κάθε περίπτωση αν αντικαταστήσουμε το που έχουμε συναρτήσει των στην θα καταλήξουμε σε εξίσωση της μορφής
, άρα , . ( ****edit τυπογραφικό)
Για την περίπτωση που , κάνοντας το ίδιο θα καταλήξω στην
με λύση την που βλέπω ότι δεν έχει λύση στην αρχική.
Απέδειξα ότι αν Μοναδική λύση
Υπόψιν μένει η περίπτωση που
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Λύσεις Διοφαντικής Εξίσωσης
Αρχιμήδης 6 έγραψε:Συνεχίζω από εκεί που σταμάτησα....Αρχιμήδης 6 έγραψε:
Αν μηδενίζει και προκύπτει η λύση
Αν τότε
Αν περιττός τότε
Άρα υπάρχουν ακέραιοι ώστε
, η
,
Το δεύτερο σύστημα μας δίνει προφανώς μόνο την λύση άρα (την έχω ήδη)
Για το πρώτο σύστημα...
, , περιττός.
άρα αδύνατον .
Αποδείξαμε ότι για περιττό δεν έχω λύση.
Για άρτιο άλλη στιγμή γιατί είναι αρκετές υποπεριπτώσεις .
Αν άρτιος
Βλέπω ότι τότε
Για την περίπτωση που
Εδώ είναι εμφανές ότι
Σε αυτή την περίπτωση θα ισχύει ότι
άρα
έχω 2 περιπτώσεις.
, η
,
Για την πρώτη περίπτωση είναι εύκολο να διαπιστώσω ότι μοναδική λύση είναι ,
Για την δεύτερη περίπτωση.. ,
Αν περιττός τότε , άρα Αδύνατον.
Αν άρτιος τότε , οπότε
Η παράσταση δεν είναι ποτέ πολλαπλάσιο του οπότε , άρα υπάρχουν ακέραιοι ώστε
, περιττοί
Αθροίζοντας θα έχω
περιττός
,
η , με . άρα περιττοί
Σε κάθε περίπτωση η και αφού περιττοί τότε
Σε κάθε περίπτωση αν αντικαταστήσουμε το που έχουμε συναρτήσει των στην θα καταλήξουμε σε εξίσωση της μορφής
, άρα , . ( ****edit τυπογραφικό)
Για την περίπτωση που , κάνοντας το ίδιο θα καταλήξω στην
με λύση την που βλέπω ότι δεν έχει λύση στην αρχική.
Απέδειξα ότι αν Μοναδική λύση
Υπόψιν μένει η περίπτωση που
Παραπάνω είδαμε τις τετριμμένες λύσεις της εξίσωσης για τις περιπτώσεις όπου , .
Μένει όπως είπα η περίπτωση όπου της
Δεν θα δώσω λύση γιατί δεν την έχω ολοκληρώσει αλλά βρήκα κάτι απλό και ωραίο.
Για την περίπτωση που θεωρώ ότι υπάρχει θετικός ώστε .
(Εδώ και θέτω )
Στην περίπτωση μας οι λύσεις της εξίσωσης ισοδυναμούν με τις λύσεις της παρακάτω εξίσωσης
που παρουσιάζει αρκετό ενδιαφέρον γιατί δεν την είχα ξανασυναντήσει ...
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Λύσεις Διοφαντικής Εξίσωσης
Για να μην μένει έτσι...
Μοναδικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης είναι :
Το τελευταίο ζεύγος το βρίσκω από το παρακάτω σύστημα:
, ,.
Επίσης το ζεύγος προκύπτει από μια τετριμμένη λύση μιας άλλης διοφαντικής της μορφής
Υ.Γ
Δεν παραθέτω πλήρης λύση γιατί είναι άλλες 2 σελίδες.(Διοφαντική ανάλυση.)
Μοναδικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης είναι :
Το τελευταίο ζεύγος το βρίσκω από το παρακάτω σύστημα:
, ,.
Επίσης το ζεύγος προκύπτει από μια τετριμμένη λύση μιας άλλης διοφαντικής της μορφής
Υ.Γ
Δεν παραθέτω πλήρης λύση γιατί είναι άλλες 2 σελίδες.(Διοφαντική ανάλυση.)
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Λύσεις Διοφαντικής Εξίσωσης
Αυτή είναι η δυσκολότερη περίπτωση του προβλήματος και η τελευταία εξίσωση είναι αρκετά γνωστή στη βιβλιογραφία αφού δυσκόλεψε αρκετά και υπάρχουν μόνο στοιχειώδη αποδείξεις και κάποιες άλλες μη (για τη μια είμαι σίγουρος του Anglin που έχω διαβάσει)Αρχιμήδης 6 έγραψε:
Για την περίπτωση που θεωρώ ότι υπάρχει θετικός ώστε .
(Εδώ και θέτω )
Στην περίπτωση μας οι λύσεις της εξίσωσης ισοδυναμούν με τις λύσεις της παρακάτω εξίσωσης
που παρουσιάζει αρκετό ενδιαφέρον γιατί δεν την είχα ξανασυναντήσει ...
Συνεπώς για παραπέμπω εδώ:
http://mathworld.wolfram.com/CannonballProblem.html
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες