Ανακλάσεις

Συντονιστής: gbaloglou

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15019
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ανακλάσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Αύγ 01, 2017 8:24 pm

Ανακλάσεις.png
Ανακλάσεις.png (19.53 KiB) Προβλήθηκε 544 φορές
Από τυχαίο σημείο S της πλευράς BC του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , αναχωρεί

φωτεινή ακτίνα , η οποία ανακλάται σε σημείο P της AB , στη συνέχεια σε σημείο Q

της AC , επιστρέφοντας τελικά στο S . Οι κάθετες στα P,Q τέμνονται στο σημείο T .

Εξετάστε αν αληθεύει η διαπίστωση , ότι η ST , διέρχεται από την κορυφή A .


Λέξεις Κλειδιά:
ανακλάσεις
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Ανακλάσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Αύγ 01, 2017 9:54 pm

KARKAR έγραψε:Ανακλάσεις.pngΑπό τυχαίο σημείο S της πλευράς BC του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , αναχωρεί φωτεινή ακτίνα , η οποία ανακλάται σε σημείο P της AB , στη συνέχεια σε σημείο Q της AC , επιστρέφοντας τελικά στο S . Οι κάθετες στα P,Q τέμνονται στο σημείο T .Εξετάστε αν αληθεύει η διαπίστωση , ότι η ST , διέρχεται από την κορυφή A .
Η πρόταση είναι προφανής σε τυχαίο τρίγωνο και χωρίς το S να είναι κατ’ ανάγκη σημείο της BC . Οι δέσμες P.AQTS και Q.APTS είναι αρμονικές (έχουν κάθετες δύο ακτίνες τους διχοτομώντας τις γωνίες των άλλων δύο ακτινών) και επειδή έχουν κοινή ακτίνα την PQ , τα σημεία τομής των ομολόγων άλλων τριών ακτινών τους θα είναι συνευθειακά, δηλαδή A,T,S συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9853
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ανακλάσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Αύγ 01, 2017 9:57 pm

Ανακλάσεις.png
Ανακλάσεις.png (30.62 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές
Πρώτα – πρώτα το T είναι έγκεντρο του \vartriangle PQS άρα \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_6}}\,\,( * )

\widehat {{a_1}} = \widehat {(TQP}) = \widehat {{a_2}}\,\,(1) και \widehat {{a_4}} = (\widehat {APQ}) = \widehat {{a_5}}\,\,(2) Προφανώς λοιπόν \vartriangle TQS \approx \vartriangle APS

Οπότε \widehat {QTS} = \widehat {APS}. Μα τότε \widehat {QTS} + \widehat {{a_4}} = \widehat {APS} + \widehat {{a_5}} = 180^\circ συνεπώς τα σημεία :

A,T,S ανήκουν στην ίδια ευθεία.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13277
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανακλάσεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Αύγ 01, 2017 10:43 pm

KARKAR έγραψε:Ανακλάσεις.pngΑπό τυχαίο σημείο S της πλευράς BC του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , αναχωρεί

φωτεινή ακτίνα , η οποία ανακλάται σε σημείο P της AB , στη συνέχεια σε σημείο Q

της AC , επιστρέφοντας τελικά στο S . Οι κάθετες στα P,Q τέμνονται στο σημείο T .

Εξετάστε αν αληθεύει η διαπίστωση , ότι η ST , διέρχεται από την κορυφή A .
Σε τυχαίο τρίγωνο.
Ανακλάσεις.png
Ανακλάσεις.png (17.35 KiB) Προβλήθηκε 505 φορές
Οι PT, QT τέμνουν τις AB, AC στα E, H αντίστοιχα. Το T είναι έγκεντρο του SPQ, αλλά και ορθόκεντρο του AEH, οπότε

\displaystyle{AT \bot EH}. Επειδή όμως τα ύψη τριγώνου διχοτομούν τις γωνίες του ορθικού, το S θα είναι το ίχνος του τρίτου ύψους του τριγώνου

AEH και το ζητούμενο έπεται.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες