Αποστάσεις από το έγκεντρο

polysindos · #1

Αν

έγκεντρο του τριγώνου ABC

και $AI=\sqrt{407},BI=\sqrt{175},CI=\sqrt{275}$ , να υπολογιστούν οι πλευρές και το εμβαδόν του τριγώνου.

dement · #2

Ισχύει η γνωστή σχέση

$\displaystyle \frac{AI^2}{bc} + \frac{BI^2}{ac} + \frac{CI^2}{ab} = 1$ .

Επίσης, από τους τύπους των σημείων επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου έχουμε

CI^2 - BI^2 = a(b-c) = 100, AI^2 - BI^2 = c(b-a) = 232,

Έτσι, αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση παίρνουμε

$\displaystyle \frac{407}{bc} + \frac{175}{bc - 232} + \frac{275}{bc - 132} = 1$ . Η συνάρτηση είναι γν. μονότονη ως προς

και εύκολα βρίσκουμε

$bc = 957 \implies ab = 825, ac = 725 \implies a = 25, b = 33, c = 29$ .

Από τον τύπο του Ήρωνα το εμβαδόν προκύπτει ίσο με $\displaystyle \sqrt{ \frac{ 87 \cdot 37 \cdot 21 \cdot 29}{16}} = \frac{87 \sqrt{259}}{4}$ (ελπίζω να μην υπάρχει λάθος).

#3

dement έγραψε:Ισχύει η γνωστή σχέση

$\displaystyle \frac{AI^2}{bc} + \frac{BI^2}{ac} + \frac{CI^2}{ab} = 1$ .

Επίσης, από τους τύπους των σημείων επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου έχουμε

Έτσι, αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση παίρνουμε

$\displaystyle \frac{407}{bc} + \frac{175}{bc - 232} + \frac{275}{bc - 132} = 1$ . Η συνάρτηση είναι γν. μονότονη ως προς και εύκολα βρίσκουμε

$bc = 957 \implies ab = 825, ac = 725 \implies a = 25, b = 33, c = 29$ .

Από τον τύπο του Ήρωνα το εμβαδόν προκύπτει ίσο με $\displaystyle \sqrt{ \frac{ 87 \cdot 37 \cdot 21 \cdot 29}{16}} = \frac{87 \sqrt{259}}{4}$ (ελπίζω να μην υπάρχει λάθος).

Αποστάσεις από το έγκεντρο

Αποστάσεις από το έγκεντρο

Re: Αποστάσεις από το έγκεντρο

Re: Αποστάσεις από το έγκεντρο

Μέλη σε σύνδεση