Σύνθεση στροφών στον χώρο

#1

[Μη σχολικό θέμα, στοιχειώδης/γεωμετρική διαπραγμάτευση.]

Καταθέτω κάποιες σκέψεις για την ειδική περίπτωση όπου οι άξονες στροφής τέμνονται (κατά γωνία $\phi$ ) και οι προσανατολισμένες γωνίες στροφής είναι ίσες (προς γωνία $\gamma$ ): στην ειδική αυτή περίπτωση μπορούμε, θεωρώντας την κάθε στροφή ως σύνθεση/τομή δύο ανακλάσεων/επιπέδων που τέμνονται κατά γωνία $\gamma /2$ , με τα 'ενδιάμεσα' επίπεδα να ταυτίζονται προς το επίπεδο των δύο αξόνων (και τις αντίστοιχες ανακλάσεις να αλληλοεξουδετερώνονται), να καταλήξουμε στο συνημμένο σχήμα ... από το οποίο συμπεραίνουμε ότι ο άξονας στροφής σχηματίζει με το επίπεδο των δύο αξόνων γωνία ίση προς $\theta=arcsin\displaystyle\left(\frac{(sin\phi /2)(sin\gamma /2)}{\sqrt{sin^2\phi /2+(cos^2\phi /2)(cos^2\gamma /2)}}\right)$ , ενώ η γωνία στροφής ισούται προς $2\eta$ , όπου $\eta =2arcsin\displaystyle\left(\sqrt{sin^2\phi /2+(cos^2\phi /2)(cos^2\gamma /2)}\right)$ η δίεδρος γωνία των δύο 'ακραίων' επιπέδων.

[Αν για παράδειγμα συνθέσουμε τις τετραπλές στροφές (2453) και (1562) του ζαριού, καταλήγοντας στην τριπλή στροφή (1562)*(2453) = (153)(246), οι παραπάνω τύποι δίνουν, με $\gamma =\phi =90^0$ , τις αναμενόμενες τιμές $\eta =120^0$ και $\theta =arcsin(1/\sqrt{3})$ . (Ως 'ακραίες' ανακλάσεις χρησιμοποιήθηκαν οι (24)(35) και (15)(26), και ως 'ενδιάμεση' η (25): (2453)=(25)*(24)(35), (1562)=(15)(26)*(25).)]

Γιώργος Μπαλόγλου

#2

gbaloglou έγραψε:[Αν για παράδειγμα συνθέσουμε τις τετραπλές στροφές (2453) και (1562) του ζαριού, καταλήγοντας στην τριπλή στροφή (1562)*(2453) = (153)(246), οι παραπάνω τύποι δίνουν, με $\gamma =\phi =90^0$ , τις αναμενόμενες τιμές $\eta =120^0$ και $\theta =arcsin(1/\sqrt{3})$ . (Ως 'ακραίες' ανακλάσεις χρησιμοποιήθηκαν οι (24)(35) και (15)(26), και ως 'ενδιάμεση' η (25): (2453)=(25)*(24)(35), (1562)=(15)(26)*(25).)]

Εντάξει με τις τετραπλές στροφές, αν πάμε όμως στις τριπλές στροφές, όπως ας πούμε οι (123)(465) και(124)(365), αλλά και οι αντίστροφες τους, (132)(456) και (142)(356) ... μας περιμένει μια έκπληξη: άλλες φορές το γινόμενο/σύνθεση είναι διπλή στροφή, πχ (124)(365)*(132)(456) = (16)(34) και (142)(356)*(123)(465) = (25)(34), και άλλες φορές τριπλή στροφή, πχ (124)(365)*(123)(465) = (145)(263) και (142)(356)*(132)(456) = (153)(246).

Το παραπάνω φαινόμενο έχει μια απλή εξήγηση: η προηγούμενη δημοσίευση μου κάλυψε μόνο την περίπτωση που οι δύο στροφές (κατά την ίδια γωνία $\gamma$ ), έχουν ίδιο προσανατολισμό ... οπότε, εκφράζοντας την κάθε στροφή/άξονα ως σύνθεση/τομή δύο ανακλάσεων/επιπέδων (τεμνομένων κατά γωνία $\gamma /2$ ), αμφότερα τα 'πλάγια' επίπεδα βρίσκονται στην ίδια πλευρά του κοινού 'οριζόντιου' επιπέδου (και η τομή τους είναι αρκετά εύκολο να φανερωθεί)^αν όμως αλλάζαμε τον προσανατολισμό μόνο της πρώτης στροφής, οπότε το πρώτο/'πλάγιο' επίπεδο της θα ήταν 'κάτω' και όχι 'πάνω' από το 'οριζόντιο' επίπεδο ... πως θα βρίσκαμε την τομή των δύο 'πλαγίων' επιπέδων (που δίνει και τον άξονα της στροφής-σύνθεσης, καθώς η διπλή εφαρμογή της μεσαίας/'οριζόντιας' ανάκλασης έχει μηδενικό αποτέλεσμα);

Η απάντηση σ' αυτό το ερώτημα μπορεί κατ' αρχήν να δοθεί πειραματικά: στο παράδειγμα της πρώτης παραγράφου, ας πούμε, βλέπουμε ότι όταν οι δύο τριπλές στροφές έχουν αντίθετο προσανατολισμό τότε η προβολή του άξονα τριπλής στροφής που προκύπτει στο επίπεδο των αρχικών αξόνων στροφής ... διχοτομεί την αμβλεία γωνία τους!

Ύστερα από αυτήν την καίρια επισήμανση, θεωρία και πράξη εύκολα αλληλοσυμπληρώνονται οδηγώντας στους τύπους του συνημμένου: αρκεί να ακολουθηθούν, για την περίπτωση του αντίθετου προσανατολισμού, οι υπολογισμοί της περίπτωσης ίδιου προσανατολισμού (όπως εκτέθηκαν στην προηγούμενη δημοσίευση), με απλή αντικατάσταση της οξείας (εσωτερικής) γωνίας $\phi /2$ από την αμβλεία (εξωτερική) γωνία $\pi /2-\phi /2$ , αρκεί δηλαδή η εναλλαγή $cos\phi /2$ και $sin\phi /2$ !

Ας δούμε πως εφαρμόζονται οι τύποι του συνημμένου στο παράδειγμα της πρώτης παραγράφου, όπου $\gamma =120^0$ , $\phi =arccos(1/3)\approx70,53^0$ (γωνία κυρίων διαγωνίων κύβου):

(i) Περίπτωση ίδιου προσανατολισμού [(124)(365)*(132)(456) = (16)(34) και (142)(356)*(123)(465) = (25)(34)]:

γωνία στροφής-σύνθεσης $4\cdot arcsin\displaystyle\left(\sqrt{(1/3)+(2/3)(1/4)}\right)=4\cdot 45^0=180^0$ (διπλή στροφή),

γωνία άξονα στροφής με επίπεδο (και διχοτόμο οξείας γωνίας) αρχικών αξόνων $arcsin\displaystyle\left(\frac{(\sqrt{1/3})(\sqrt{3}/2)}{\sqrt{(1/3)+(2/3)(1/4)}}\right)=45^0$

(ii) Περίπτωση αντίθετου προσανατολισμού [(124)(365)*(123)(465) = (145)(263) και (142)(356)*(132)(456) = (153)(246)]:

γωνία στροφής-σύνθεσης $4\cdot arcsin\displaystyle\left(\sqrt{(2/3)+(1/3)(1/4)}\right)=4\cdot 60^0=240^0$ (τριπλή στροφή),

γωνία άξονα στροφής με επίπεδο (και διχοτόμο αμβλείας γωνίας) αρχικών αξόνων $arcsin\displaystyle\left(\frac{(\sqrt{2/3})(\sqrt{3}/2)}{\sqrt{(2/3)+(1/3)(1/4)}}\right)=arcsin\sqrt{2/3}\approx54,74^0$

[Φυσικά στην περίπτωση της σύνθεσης τετραπλών στροφών (βλ. παράδειγμα προηγούμενης δημοσίευσης) ο προσανατολισμός δεν επηρεάζει ούτε την γωνία στροφής ούτε την γωνία του άξονα της στροφής-σύνθεσης με το επίπεδο των αρχικών αξόνων στροφής, καθώς $sin\phi /2=cos\phi /2=\sqrt{2}/2$ ^ επηρεάζεται όμως από τον προσανατολισμό η κατεύθυνση του άξονα της στροφής-σύνθεσης. (Στο παράδειγμα αυτό οι δύο άξονες στροφής είναι κάθετοι μεταξύ τους, οπότε δεν μπορούμε να μιλάμε για οξεία ή αμβλεία αξόνων, αλλά αυτό δεν αποτελεί πρόβλημα.)]

Γιώργος Μπαλόγλου

#3

gbaloglou έγραψε:[Μη σχολικό θέμα, στοιχειώδης/γεωμετρική διαπραγμάτευση.]

Καταθέτω κάποιες σκέψεις για την ειδική περίπτωση όπου οι άξονες στροφής τέμνονται (κατά γωνία $\phi$ ) και οι προσανατολισμένες γωνίες στροφής είναι ίσες (προς γωνία $\gamma$ ): στην ειδική αυτή περίπτωση μπορούμε, θεωρώντας την κάθε στροφή ως σύνθεση/τομή δύο ανακλάσεων/επιπέδων που τέμνονται κατά γωνία $\gamma /2$ , με τα 'ενδιάμεσα' επίπεδα να ταυτίζονται προς το επίπεδο των δύο αξόνων (και τις αντίστοιχες ανακλάσεις να αλληλοεξουδετερώνονται), να καταλήξουμε στο συνημμένο σχήμα ... από το οποίο συμπεραίνουμε ότι ο άξονας στροφής σχηματίζει με το επίπεδο των δύο αξόνων γωνία ίση προς $\theta=arcsin\displaystyle\left(\frac{(sin\phi /2)(sin\gamma /2)}{\sqrt{sin^2\phi /2+(cos^2\phi /2)(cos^2\gamma /2)}}\right)$ ,

Άμεση εφαρμογή του παραπάνω τύπου ... ο υπολογισμός των γωνιών $\phi _3$ και $\phi _5$ ανάμεσα σε δύο 'γειτονικούς' (εγγύτατους) άξονες τριπλής και δύο 'γειτονικούς' άξονες πενταπλής στροφής στο κανονικό εικοσάεδρο ή δωδεκάεδρο:

Υποθέτοντας ότι η σύνθεση δύο εγγύτατων τριπλών στροφών ίδιου προσανατολισμού είναι μία πενταπλή στροφή και αντίστροφα (η σύνθεση δύο εγγύτατων πενταπλών στροφών ίδιου προσανατολισμού είναι μία τριπλή στροφή) -- αυτά μπορούν και να αποδειχθούν και να επαληθευθούν στην πεντεξαγωνική μπάλα -- παρατηρούμε ότι $\phi _3=2\theta _5$ και $\phi _5=2\theta _3$ , οπότε ο παραπάνω τύπος δίνει (με $\gamma _3=120^0$ και $\gamma _5=72^0$ ):

$\theta _5=arcsin \displaystyle\left(\frac{(sin\theta _3)\cdot (\sqrt{3}/2)}{\sqrt{(sin^2\theta _3)+(cos^2\theta _3)\cdot (1/4)}}\right)$ και

$\theta _3=arcsin \displaystyle\left(\frac{(sin\theta _5)\cdot \left(\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}\right)}{\sqrt{(sin^2\theta _5)+(cos^2\theta _5)\cdot \left(\frac{3+\sqrt{5}}{8}\right)}}\right),$

δηλαδή

$sin\theta _5=\displaystyle\frac{\sqrt{3}sin\theta _3}{\sqrt{1+3sin^2\theta _3}}$ και

$sin\theta _3=\displaystyle\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}sin\theta _5}{\sqrt{(3+\sqrt{5})+(5-\sqrt{5})sin^2\theta _5}}.$

Η λύση του παραπάνω συστήματος -- αναπάντεχα (;) εύκολη, με αντικατάσταση της πρώτης εξίσωσης στην δεύτερη -- δίνει $sin\theta _3=\displaystyle\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}$ & $sin\theta _5=\displaystyle\frac{5-\sqrt{5}}{2\sqrt{15}}$ , δηλαδή $\theta _3\approx 20,91^0$ & $\theta _5\approx 31,72^0$ , συνεπώς $\phi _3\approx 41,82^0$ & $\phi _5\approx 63,44^0$ .

Οι παραπάνω τιμές ... σίγουρα είναι αληθοφανείς

Γιώργος Μπαλόγλου

#4

Μια και κάτι ανέφερα στην προηγούμενη δημοσίευση περί πεντεξαγωνικής (εικοσαεδρικής) μπάλας ... ας το δούμε λίγο το θέμα

Πρόκειται περί εμπειρικής σύνθεσης εικοσαεδρικών ισομετριών -- με εργαλείο μία ονοματισμένη (labeled) όπως εδώ μπάλα ποδοσφαίρου -- κατά τον τρόπο που εκτίθεται στο τελευταίο εργαστήρι (lab #22) του μαθήματος Symmetries (MAT 103) που δίδασκα στο SUNY Oswego (Πολιτειακό Πανεπιστήμιο Νέας Υόρκης, Οσβίγκο), ακολουθώντας το προηγούμενο εργαστήρι για τον κύβο (lab #21) και το πολύ ευκολότερο για το τετράγωνο (lab #20): σχεδόν όλα βασίζονται σε πολλαπλασιασμό μεταθέσεων, με την προοπτική ο μηχανικός αρχικά χειρισμός των ισομετριών να καταλήξει σε μια κάποια κατανόηση τους (όπως και σε μια κάποια κατανόηση της έννοιας της ομάδας -- όλα αυτά κυρίως σε φοιτητές θεωρητικών επιστημών, χωρίς ιδιαίτερη κλίση στα Μαθηματικά).

Στην προηγούμενη δημοσίευση λοιπόν ανέφερα κάπου για σύνθεση τριπλών στροφών που δίνει πενταπλή στροφή, και για σύνθεση πενταπλών στροφών που δίνει τριπλή στροφή^ ας τα δούμε αυτά με συγκεκριμένα παραδείγματα και πολλαπλασιασμό μεταθέσεων (χωρίς να ξεχνάμε ότι η ισομετρία που γράφεται δεύτερη είναι ο πρώτος παράγων):

Αρχίζουμε με σύνθεση τριπλών στροφών:

(AGB)(FHK)(CJI)(DLE) * (AFG)(BJI)(EHK)(CLD) = (AHFBI)(CEKDJ)

(ABG)(FKH)(CIJ)(DEL) * (AGF)(BIJ)(EKH)(CDL) = (BJGKF)(CEHLI)

(AGB)(FHK)(CJI)(DLE) * (AGF)(BIJ)(EKH)(CDL) = (ABCLJ)(DEFGH)

(ABG)(FKH)(CIJ)(DEL) * (AFG)(BJI)(EHK)(CLD) = (AKLEF)(BCDIG)

Υπάρχει μια βασική διαφορά ανάμεσα στα δύο πρώτα και στα δύο τελευταία παραδείγματα: στα πρώτα δύο οι δύο παράγοντες είναι τριπλές στροφές (threefold rotations) 120^0

ίδιου προσανατολισμού και το γινόμενο μακρά πενταπλή στροφή (long fivefold rotation) 144^0

, ενώ στα δύο τελευταία οι δύο παράγοντες είναι τριπλές στροφές (threefold rotations) 120^0

αντίθετου προσανατολισμού και το γινόμενο βραχεία πενταπλή στροφή (short fivefold rotation) 72^0

.

Συνεχίζουμε με σύνθεση πενταπλών στροφών 72^0

:

(BKJFG)(CLEIH) * (AGHCK)(DLJFI) = (ABK)(CJG)(DEI)(FHL)

(BGFJK)(CHIEL) * (AKCHG)(DIFJL) = (ABG)(CIJ)(DEL)(FKH)

(BKJFG)(CLEIH) * (AKCHG)(DIFJL) = (AJEIG)(BKLDH)

(BGFJK)(CHIEL) * (AGHCK)(DLJFI) = (AFELK)(BGIDC)

Εδώ οι διαφορές είναι περισσότερο ορατές: στα πρώτα δύο παραδείγματα ο ίδιος προσανατολισμός των δύο παραγόντων οδηγεί σε τριπλή στροφή, ενώ στα δύο τελευταία παραδείγματα ο αντίθετος προσανατολισμός οδηγεί σε πενταπλή στροφή 72^0

.

Τελειώνουμε με σύνθεση πενταπλών στροφών 144^0

:

(BJGKF)(CEHLI) * (AHKGC)(DJILF) = (ALBJC)(DGEHF)

(BFKGJ)(CILHE) * (ACGKH)(DFLIJ) = (AIBFH)(CJDKE)

(BJGKF)(CEHLI) * (ACGKH)(DFLIJ) = (AEH)(BJD)(CKL)(FIG)

(BFKGJ)(CILHE) * (AHKGC)(DJILF) = (AEC)(BFD)(GIH)(JLK)

Εδώ έχουμε μια κάποια αντιστροφή ρόλων: ο ίδιος προσανατολισμός των δύο παραγόντων στα πρώτα δύο παραδείγματα οδηγεί σε πενταπλή στροφή 144^0

, ενώ ο αντίθετος προσανατολισμός των δύο παραγόντων στα τελευταία δύο παραδείγματα οδηγεί σε τριπλή στροφή.

Έρχονται τα τελευταία τέσσερα παραδείγματα σε αντίφαση με τον ισχυρισμό της προηγούμενης δημοσίευσης ότι "η σύνθεση πενταπλών στροφών ίδιου προσανατολισμού οδηγεί σε τριπλή στροφή, ενώ η σύνθεση πενταπλών στροφών αντίθετου προσανατολισμού οδηγεί σε πενταπλή στροφή"; ΟΧΙ, μια και στην προηγούμενη δημοσίευση "πενταπλή στροφή" = "βραχεία πενταπλή στροφή" = "στροφή 72^0

", ενώ στα τέσσερα τελευταία παραδείγματα "πενταπλή στροφή" = "μακρά πενταπλή στροφή" = "στροφή 144^0

"!

Η τελευταία παρατήρηση ... μας βάζει βεβαίως σε πειρασμό να ελέγξουμε την συμβατότητα των παραπάνω πειραματικών αποτελεσμάτων με τους τύπους και τα δεδομένα των προηγουμένων δημοσιεύσεων^ χρησιμοποιώντας το συνημμένο της προ-προηγούμενης δημοσίευσης (αριστεροί τύποι για την περίπτωση ίσων στροφών (ίδιου προσανατολισμού), δεξιοί τύποι για την περίπτωση αντίθετων στροφών (αντίθετου προσανατολισμού)) ... λαμβάνουμε τα εξής αποτελέσματα για τις γωνίες $2\eta$ (γωνία στροφής-σύνθεσης) και $\theta$ (γωνία άξονα στροφής-σύνθεσης με εσωτερική ή εξωτερική διχοτόμο γωνίας αρχικών αξόνων στροφής):

-- ίσες τριπλές στροφές ( $\gamma =120^0, \phi \approx 41,82^0$ ): $2\eta \approx 144^0, \theta \approx 31,72^0$

-- αντίθετες τριπλές στροφές ( $\gamma =120^0, \phi \approx 41,82^0$ ): $2\eta \approx 72^0, \theta \approx 58,28^0$

-- ίσες βραχείες πενταπλές στροφές ( $\gamma =72^0, \phi \approx 63,44^0$ ): $2\eta \approx 240^0, \theta \approx 20,91^0$

-- αντίθετες βραχείες πενταπλές στροφές ( $\gamma =72^0, \phi \approx 63,44^0$ ): $2\eta \approx 288^0, \theta \approx 31,72^0$

-- ίσες μακρές πενταπλές στροφές ( $\gamma =144^0, \phi \approx 63,44^0$ ): $2\eta \approx 144^0, \theta \approx 58,28^0$

-- αντίθετες μακρές πενταπλές στροφές ( $\gamma =144^0, \phi \approx 63,44^0$ ): $2\eta \approx 240^0, \theta \approx 69,09^0$

Οι παραπάνω υπολογισμοί συμφωνούν απολύτως με τα πειραματικά αποτελέσματα μας: αυτό είναι απολύτως προφανές όσον αφορά την γωνία της στροφής-σύνθεσης $2\eta$ , καθώς αρκεί μια γρήγορη ματιά στην μπάλα (για να δούμε, στην περίπτωση της πενταπλής στροφής, αν πρόκειται για βραχεία ή μακρά, για 72^0

ή

), αλλά απαιτεί μια πιο προσεκτική ματιά στην μπάλα όσον αφορά την γωνία $\theta$ του άξονα στροφής με την εσωτερική ή εξωτερική διχοτόμο της γωνίας των αρχικών αξόνων στροφής. (Εννοείται ότι κάθε στροφή 240^0

, αντίστροφη κάποιας στροφής 120^0

, θεωρείται τριπλή στροφή, και κάθε στροφή 288^0

, αντίστροφη κάποιας στροφής 72^0

, θεωρείται βραχεία πενταπλή στροφή. Ας παρατηρηθεί επίσης ότι δύο τυχόντες άξονες πενταπλής στροφής είναι αναγκαστικά 'γειτονικοί', με $\phi \approx 63,44^0$ δηλαδή, ενώ δύο τυχόντες άξονες τριπλής στροφής δεν είναι υποχρεωτικά 'γειτονικοί', μπορούν δηλαδή να είναι είτε 'δίπλα' ο ένας στον άλλο είτε 'παρα-δίπλα'.)

... Αυτά λοιπόν και πολλά άλλα μπορούν να γίνουν με μια ονοματισμένη μπάλα ποδοσφαίρου! Για την ιστορία αναφέρω ότι την ιδέα για τέτοιου είδους χρήση της μπάλας μου έδωσε -- πριν 15 σχεδόν χρόνια, στο πρώτο και μοναδικό μου sabbatical -- η προσπάθεια μου να κατανοήσω την σύνθεση ανάκλασης και στροφής, και πιο συγκεκριμένα την αντικατάσταση ενός τυχόντος ζεύγους ανάκλασης και στροφής από ένα γεωμετρικά ισοδύναμο ζεύγος ορθογωνίων προς αλλήλους ανάκλασης και στροφής (γνωστού και ως στροφανάκλασης/rotoreflection): η ώρα περνούσε, αισθανόμουν 'λίγος' μπροστά στο πρόβλημα, οπότε ... ρώτησα τον επιστάτη που πέρασε από το γραφείο μου λίγο μετά τις 9:30 τι ώρα κλείνει το Walmart, "it closes at ten, so you have time" μου είπε, οπότε έσπευσα εκεί και αγόρασα λίγο πριν κλείσει το κατάστημα την μπάλα που βλέπετε στο συνημμένο

Λίγους μήνες αργότερα αγόρασα 28 μικρού μεγέθους μπάλες (διαβάστε σχετικά στο τέλος εδώ!), τις ονομάτισα, το ίδιο και με 28 κυβικά ταχυδρομικά κουτιά, και στο τέλος του φθινοπωρινού εξαμήνου του 2001 πρόσθεσα στο ως τότε επίπεδο μάθημα των Συμμετριών τα εργαστήρια που ανέφερα στην αρχή. (Συνάδελφος που είχε διδάξει το μάθημα πριν την εισαγωγή των τρισδιάστατων συμμετριών μου είπε πως μια μέρα πέρασε έξω από την αίθουσα μου και ήθελε να φωτογραφίσει τους φοιτητές καθώς κρατούσαν όλοι ψηλά και 'μελετούσαν' την ασπρόμαυρη μπάλα!)

Γιώργος Μπαλόγλου

Σύνθεση στροφών στον χώρο

Σύνθεση στροφών στον χώρο

Re: Σύνθεση στροφών στον χώρο

Re: Σύνθεση στροφών στον χώρο

Re: Σύνθεση στροφών στον χώρο

Μέλη σε σύνδεση