Γ.Τ πολύ όμορφη

#1

Δινεται κύκλος $\displaystyle{C(O,R) }$ και εκτός αυτού σημείο $\displaystyle{A}$ . Διάμετρος $\displaystyle{BC}$ περιστρέφεται περί το $\displaystyle{O}$ . Αν $\displaystyle{B',C'}$ είναι τα δεύτερα σημεία τομής των $\displaystyle{AB,AC}$ με τον $\displaystyle{C}$ αντιστοίχως τότε
1. να βρεθεί ο τόπος του περικέντρου $\displaystyle{K}$ του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$
2. να βρεθεί ο τόπος της προβολης $\displaystyle{M}$ του $\displaystyle{A}$ επί την $\displaystyle{BC}$
3. να βρεθεί ο τόπος του ορθοκέντρου $\displaystyle{H}$ του $\displaystyle{ABC}$
4. να βρεθεί ο τόπος του κέντρου $\displaystyle{O_9}$ του κυκλου των 9 σημείων του $\displaystyle{ABC}$
5. να βρεθεί ο τόπος του μέσου $\displaystyle{S}$ του $\displaystyle{AH}$
6. να βρεθεί ο τόπος της προβολης $\displaystyle{P}$ του $\displaystyle{O}$ επί την $\displaystyle{B'C'}$
Πιστεύω οτι η άσκηση αυτή είναι πολύ όμορφη και όσοι αγάπησαν τους Γ.Τ θα την ευχαριστηθούν χωρίς να είναι δύσκολη

#2

: 121.png (49.92 KiB) Προβλήθηκε 479 φορές

εμεινε για πολύ άλυτη . Δίνω λοιπόν μια λύση

1) $\displaystyle{OI.OA=OB.OC}$ ή $\displaystyle{OI=R^2/OA}$ άρα $\displaystyle{I=ct}$ οποτε τόπος του $\displaystyle{K}$ η μεσοκάθετος του $\displaystyle{ IA}$

2) Το $\displaystyle{M}$ βλέπει υπό ορθή γωνία το $\displaystyle{OA}$ αρα τόπος του $\displaystyle{M}$ ο κυκλος διαμέτρου $\displaystyle{OA}$

3) $\displaystyle{AH.AM=AB.AB'=OA^2-R^2}$ τοπος του $\displaystyle{H}$ ο αντίστροφος του τόπου του $\displaystyle{M}$ στν αντιστροφή μ πόλο το $\displaystyle{A}$ και δύναμη $\displaystyle{OA^2-R^2}$ οπότε Ευθεία ε κάθετη στην $\displaystyle{OA}$ σε σημείο $\displaystyle{F:AF=(OA^2-R^2)/OA}$

4)ΤΟ $\displaystyle{O_9}$ εναι το μεσον του $\displaystyle{GH}$ οπότε τόπος του $\displaystyle{O_9}$ ο ομοιόθετος του τόπου του $\displaystyle{H }$ στην ομοιοθεσία $\displaystyle{(G,1/2)}$ δηλαδη΄ευθεια // στην ε To βαρύκεντρο $\displaystyle{G}$ είναι σταθερό αφου $\displaystyle{AG=2/3AO}$

5)το $\displaystyle{S}$ είναι το ομοιόθετο του $\displaystyle{H}$ στην $\displaystyle{(A,1/2)}$ τόπος του $\displaystyle{S}$ ευθεία // στην ε

6) $\displaystyle{\angle{OB'C'}=180-\angle{OBB}-\angle{AB'C'}=180-B-C=A}$ αρα $\displaystyle{OB'}$ εφαπτομένη του κυκλου $\displaystyle{AB'C'}$ ομοίως και η $\displaystyle{OC'}$ τότε η $\displaystyle{B'C'}$ είναι η πολική του $\displaystyle{O}$ ως προς τον κύκλο $\displaystyle{AB'C'}$ αρα η τετράδα $\displaystyle{(O,T,L,A)}$ είναι αρμονική συνεπως $\displaystyle{T=ct}$ και το $\displaystyle{P}$ βλέπει υπό ορθή γωνία το $\displaystyle{OT}$ αρα τόπος του $\displaystyle{P}$ ο κυκλος διαμετρου $\displaystyle{OT}$

Γ.Τ πολύ όμορφη

Γ.Τ πολύ όμορφη

Re: Γ.Τ πολύ όμορφη

Μέλη σε σύνδεση