Μια γεωμετρική ανισότητα!
Συντονιστής: gbaloglou
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Μια γεωμετρική ανισότητα!
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και ευθεία . Οι αποστάσεις των κορυφών από την ευθεία είναι αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι
όπου το εμβαδόν του τριγώνου.
Πότε ισχύει η ισότητα;
Να αποδείξετε ότι
όπου το εμβαδόν του τριγώνου.
Πότε ισχύει η ισότητα;
- Συνημμένα
-
- geometric inequality.png (31.83 KiB) Προβλήθηκε 925 φορές
Μάγκος Θάνος
Λέξεις Κλειδιά:
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Μια γεωμετρική ανισότητα!
Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων , ώστε η ευθεία να ταυτίζεται με τον άξονα των και η κάθετη ευθεία από το προς την να ταυτίζεται με τον άξονα των . Τότε, έχουμε ότι , και όπου Άρα, θα είναι:
και
άρα και
Έστω ότι η ευθεία έχει εξίσωση όπου με Τότε, θα είναι:
και
Έτσι, έχουμε ότι:
Επομένως, αρκεί να δείξουμε ότι:
που ισχύει, άρα η αποδεικτέα ανισότητα έπεται.
Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν δηλαδή αν και μόνο αν το σημείο ανήκει στην ευθεία . Αλλά είναι
οπότε και άρα το σημείο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου Συνεπώς, η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν η ευθεία διέρχεται από το ορθόκεντρο του τριγώνου
και
άρα και
Έστω ότι η ευθεία έχει εξίσωση όπου με Τότε, θα είναι:
και
Έτσι, έχουμε ότι:
Επομένως, αρκεί να δείξουμε ότι:
που ισχύει, άρα η αποδεικτέα ανισότητα έπεται.
Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν δηλαδή αν και μόνο αν το σημείο ανήκει στην ευθεία . Αλλά είναι
οπότε και άρα το σημείο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου Συνεπώς, η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν η ευθεία διέρχεται από το ορθόκεντρο του τριγώνου
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες