Σύγκλιση σειρών.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Για κάθε μια από τις σειρές

1) $\sum_{n=1}^{\infty }\sin 2^{n}x$ (1)

2) $\sum_{n=1}^{\infty }\cos 2^{n}x$ (2)

να βρεθεί για ποια $x\in \mathbb{R}$ συγκλίνει.

dement · #2

Για την ακολουθία $c_n \equiv \cos \left( 2^n x \right)$ ισχύει $c_{n+1}=2c_n^2 - 1$ . Έτσι, τα μόνα πιθανά της όρια είναι τα 1, -1/2

. Αφού δεν μπορεί να είναι μηδενική, η αντίστοιχη σειρά δεν συγκλίνει ποτέ.

Για την ακολουθία $s_n \equiv \sin \left( 2^n x \right)$ ισχύει $c_{n+1} = 1 - 2 s_n ^2$ , οπότε $\lim s_n = 0 \implies \lim c_n = 1$ . Αλλά εύκολα διαπιστώνουμε ότι $c_n \in ( -1/2,1) \implies c_{n+1} < c_n$ . Έτσι, για να έχουμε $\lim c_n = 1$ , η c_n

πρέπει κάποτε να πάρει (και να διατηρήσει) την τιμή

.

Ισχύει $\displaystyle \cos (2^n x) = 1 \Longleftrightarrow x = \frac{k \pi}{2^{n-1}}$ . Αντίστροφα, αν $\displaystyle x = \frac{k \pi}{2^n}$ τότε s_i = 0

για $i \geqslant n$ και η αντίστοιχη σειρά συγκλίνει.

Έτσι, η σειρά της (s_n)

συγκλίνει αν και μόνο αν $\displaystyle x = \frac{k \pi}{2^n}, k, n \in \mathbb{Z}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Πολύ ωραία.
Το δεύτερο μπορεί να προκύψει και ως εξής.(συμβολισμοί ίδιοι με τον Δημήτρη)

Αν $x \neq \frac{k \pi}{2^n}, k, n \in \mathbb{Z}$ τότε $s_{n}\neq 0$

Αλλά $\left | \dfrac{s_{n+1}}{s_{n}} \right |=2\left | c_{n} \right |\rightarrow 2$

που δίνει $\left | s_{n} \right |\rightarrow \infty$ ΑΤΟΠΟ.

Σύγκλιση σειρών.

Σύγκλιση σειρών.

Re: Σύγκλιση σειρών.

Re: Σύγκλιση σειρών.

Μέλη σε σύνδεση