Σύγκλιση σειρών.

Συντονιστής: emouroukos

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1478
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Σύγκλιση σειρών.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Οκτ 14, 2017 7:55 pm

Για κάθε μια από τις σειρές

1)\sum_{n=1}^{\infty }\sin 2^{n}x(1)

2)\sum_{n=1}^{\infty }\cos 2^{n}x(2)

να βρεθεί για ποια x\in \mathbb{R} συγκλίνει.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Σύγκλιση σειρών.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Σάβ Οκτ 14, 2017 10:29 pm

Για την ακολουθία c_n \equiv \cos \left( 2^n x \right) ισχύει c_{n+1}=2c_n^2 - 1. Έτσι, τα μόνα πιθανά της όρια είναι τα 1, -1/2. Αφού δεν μπορεί να είναι μηδενική, η αντίστοιχη σειρά δεν συγκλίνει ποτέ.

Για την ακολουθία s_n \equiv \sin \left( 2^n x \right) ισχύει c_{n+1} = 1  - 2 s_n ^2, οπότε \lim s_n = 0 \implies \lim c_n = 1. Αλλά εύκολα διαπιστώνουμε ότι c_n \in ( -1/2,1) \implies c_{n+1} < c_n. Έτσι, για να έχουμε \lim c_n = 1, η c_n πρέπει κάποτε να πάρει (και να διατηρήσει) την τιμή 1.

Ισχύει \displaystyle \cos (2^n x) = 1 \Longleftrightarrow x = \frac{k \pi}{2^{n-1}}. Αντίστροφα, αν \displaystyle x = \frac{k \pi}{2^n} τότε s_i = 0 για i \geqslant n και η αντίστοιχη σειρά συγκλίνει.

Έτσι, η σειρά της (s_n) συγκλίνει αν και μόνο αν \displaystyle x = \frac{k \pi}{2^n}, k, n \in \mathbb{Z}.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1478
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύγκλιση σειρών.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Οκτ 15, 2017 8:18 pm

Πολύ ωραία.
Το δεύτερο μπορεί να προκύψει και ως εξής.(συμβολισμοί ίδιοι με τον Δημήτρη)

Αν  x \neq \frac{k \pi}{2^n}, k, n \in \mathbb{Z} τότε s_{n}\neq 0

Αλλά \left | \dfrac{s_{n+1}}{s_{n}} \right |=2\left | c_{n} \right |\rightarrow 2

που δίνει \left | s_{n} \right |\rightarrow \infty ΑΤΟΠΟ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης