Σελίδα 1 από 1

Διαγωνιστική

Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 21, 2017 8:37 am
από KARKAR
Με εντυπωσίασε και τη μεταφέρω ( από αμερικάνικο διαγωνισμό )

Suppose f(x) is a function from real numbers to real numbers such that :

\lim\limits_{x→∞} (f(x + 1) − f(x)) = L

and \lim\limits_{x→∞} \dfrac{f(x)}{x}= M

Prove that : L = M.

Re: Διαγωνιστική

Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 21, 2017 10:51 am
από dement
Πράγματι όμορφη!

Ορίζουμε τις ακολουθίες a_n \equiv f(n) και b_n \equiv n. Ισχύει ότι η (b_n) είναι γνησίως αύξουσα με \lim b_n = + \infty και \displaystyle \lim \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} = L, οπότε από το θεώρημα Stolz-Cesàro έχουμε \displaystyle \lim \frac{a_n}{b_n} = \lim \frac{f(n)}{n} = L.

Έτσι, αφού \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{x} = M, ισχύει L = M.

Βρείτε αντιπαραδείγματα που να αποδεικνύουν ότι χρειαζόμαστε την ύπαρξη και των δύο ορίων ως δεδομένο.

Re: Διαγωνιστική

Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 21, 2017 2:46 pm
από Τροβαδούρος
Το πρόβλημα νομίζω εμφανίστηκε για πρώτη φορά στο βιβλίο του Cauchy ,Cours d' Analyse de l' Ecole Polytechnique το 1821.(Έτσι τουλάχιστον αναφέρει ο κ.Ρασσιάς στο βιβλίο μαθηματική ανάλυση Ι).

Re: Διαγωνιστική

Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 21, 2017 4:17 pm
από Tolaso J Kos
Μία παρατηρήση: Το f(x) είναι η τιμή της f στο x ενώ η f είναι η ίδια η συνάρτηση. Ίσως το κομμάτι αυτό θέλει μία διόρθωση.
KARKAR έγραψε:Με εντυπωσίασε και τη μεταφέρω ( από αμερικάνικο διαγωνισμό )

Suppose f(x) is a function from real numbers to real numbers such that :

\lim\limits_{x→∞} (f(x + 1) − f(x)) = L

and \lim\limits_{x→∞} \dfrac{f(x)}{x}= M

Prove that : L = M.
Μετάφραση: Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} μία συνάρτηση τέτοια ώστε
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \bigg( f(x+1) - f(x) \bigg) = L \quad \text{\gr και} \quad \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = M} Δείξατε ότι L=M.

Re: Διαγωνιστική

Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 21, 2017 4:34 pm
από Mihalis_Lambrou
dement έγραψε: Βρείτε αντιπαραδείγματα που να αποδεικνύουν ότι χρειαζόμαστε την ύπαρξη και των δύο ορίων ως δεδομένο.
Θέτουμε στους άρτιους f(2n)=1 και f(x)=0 αν x \ne 2n.

Τότε \displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0} αλλά το f(x+1) - f(x) δεν έχει όριο στο άπειρο καθώς παίρνει αενάως τις τιμές 1-0=1, \, 0-0=0 και 0-1=-1.

Re: Διαγωνιστική

Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 21, 2017 10:40 pm
από AlexandrosG
Δείτε και εδώ.

Re: Διαγωνιστική

Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 21, 2017 11:04 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Ενα πιο 'καλό' παράδειγμα είναι το
f(x)=x+\sin x\frac{\pi }{2}

Το πρόβλημα σε μένα είναι γνωστό.

Το γενικότερο είναι:
Εστω f:(0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}
η οποία είναι φραγμένη σε κάθε πεπερασμένο διάστημα.

Δηλαδή για a< b υπάρχει m=m(a,b) ώστε
x\in [a,b]\Rightarrow \left | f(x) \right |\leq m

Αν \lim_{x\rightarrow \infty }f(x+1)-f(x)=L
τότε το υπάρχει το \lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{f(x)}{x}
και είναι ίσο με L

Να σημειώσω οι αν \lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{f(x)}{x}=M,M\in \mathbb{R}
τότε η f είναι από κάπου και πέρα φραγμένη σε κάθε πεπερασμένο διάστημα.

Δηλαδή για c<a< b όπου c σταθερά υπάρχει m=m(a,b) ώστε
x\in [a,b]\Rightarrow \left | f(x) \right |\leq m.