Σελίδα 1 από 1
Διαγωνιστική
Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 21, 2017 8:37 am
από KARKAR
Re: Διαγωνιστική
Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 21, 2017 10:51 am
από dement
Πράγματι όμορφη!
Ορίζουμε τις ακολουθίες
και
. Ισχύει ότι η
είναι γνησίως αύξουσα με
και
, οπότε από το θεώρημα Stolz-Cesàro έχουμε
.
Έτσι, αφού
, ισχύει
.
Βρείτε αντιπαραδείγματα που να αποδεικνύουν ότι χρειαζόμαστε την ύπαρξη
και των δύο ορίων ως δεδομένο.
Re: Διαγωνιστική
Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 21, 2017 2:46 pm
από Τροβαδούρος
Το πρόβλημα νομίζω εμφανίστηκε για πρώτη φορά στο βιβλίο του Cauchy ,Cours d' Analyse de l' Ecole Polytechnique το 1821.(Έτσι τουλάχιστον αναφέρει ο κ.Ρασσιάς στο βιβλίο μαθηματική ανάλυση Ι).
Re: Διαγωνιστική
Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 21, 2017 4:17 pm
από Tolaso J Kos
Μία παρατηρήση: Το
είναι η τιμή της
στο
ενώ η
είναι η ίδια η συνάρτηση. Ίσως το κομμάτι αυτό θέλει μία διόρθωση.
Μετάφραση: Έστω
μία συνάρτηση τέτοια ώστε
Δείξατε ότι
.
Re: Διαγωνιστική
Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 21, 2017 4:34 pm
από Mihalis_Lambrou
dement έγραψε:
Βρείτε αντιπαραδείγματα που να αποδεικνύουν ότι χρειαζόμαστε την ύπαρξη και των δύο ορίων ως δεδομένο.
Θέτουμε στους άρτιους
και
αν
.
Τότε
αλλά το
δεν έχει όριο στο άπειρο καθώς παίρνει αενάως τις τιμές
και
.
Re: Διαγωνιστική
Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 21, 2017 10:40 pm
από AlexandrosG
Re: Διαγωνιστική
Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 21, 2017 11:04 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Ενα πιο 'καλό' παράδειγμα είναι το
Το πρόβλημα σε μένα είναι γνωστό.
Το γενικότερο είναι:
Εστω
η οποία είναι φραγμένη σε κάθε πεπερασμένο διάστημα.
Δηλαδή για
υπάρχει
ώστε
Αν
τότε το υπάρχει το
και είναι ίσο με
Να σημειώσω οι αν
τότε η
είναι από κάπου και πέρα φραγμένη σε κάθε πεπερασμένο διάστημα.
Δηλαδή για
όπου
σταθερά υπάρχει
ώστε
.