Συναρτησιακές σχέσεις

M.S.Vovos · #1

1) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$ να ισχύει η σχέση:
$\displaystyle{f(x+y)f\left ( x^{2}-y^{2} \right )+f\left ( xy^{2} \right )+f\left ( y^{3} \right )=f\left ( x^{3} \right )+f\left ( yx^{2} \right )}$ Δεν έχω λύση.

2) Να προσδιορίσετε όλες τις περιττές συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , που ικανοποιούν τη σχέση:
$\displaystyle f(x+f(xy))=f(f(x))+f(x)f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$ 3) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , που ικανοποιούν τη σχέση:
$f\left ( x^{2}+y^{2} \right )+2f(x)f(y)=(x+y)^{2},\forall x,y\in \mathbb{R}$ Φιλικά,
Μάριος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

M.S.Vovos έγραψε:
3) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , που ικανοποιούν τη σχέση:
$f\left ( x^{2}+y^{2} \right )+2f(x)f(y)=(x+y)^{2},\forall x,y\in \mathbb{R}$ Φιλικά,
Μάριος

Για

παίρνουμε $f(0)(f(0)+\frac{1}{2})=0 (1)$

Για y=0

έχουμε $f(x^{2})+2f(0)f(x)=x^{2}(2)$

Αν $f(0)=-\frac{1}{2}$

η (2) για x=1

δεν ισχύει .

Αρα f(0)=0

και η (1) γίνετε

$f(x^{2})=x^{2}$ δηλαδή f(x)=x

για $x\geq 0$

Βάζοντας στην αρχική όπου y=-x

έχουμε

$f(2x^{2})+2f(x)f(-x)=0$

Για x> 0

χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα συμπεράσματα παίρνουμε

f(-x)=-x

Τελικά η μόνη συνάρτηση που την ικανοποιεί είναι η f(x)=x

Συναρτησιακές σχέσεις

Συναρτησιακές σχέσεις

Re: Συναρτησιακές σχέσεις

Μέλη σε σύνδεση