Ισότητα Συναρτήσεων - Κύπρος
Συντονιστής: emouroukos
-
- Δημοσιεύσεις: 83
- Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 21, 2010 4:28 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία - Κύπρος
Ισότητα Συναρτήσεων - Κύπρος
Στο σχολικό βιβλίο της Β' Λυκείου στην Κύπρο δίδεται ο ακόλουθος ορισμός για την συνέχεια δύο συναρτήσεων
Ορισμός: Δύο πραγματικές συναρτήσεις και είναι ίσες αν και μόνο αν έχουν:
το ίδιο πεδίο ορισμού
το ίδιο πεδίο τιμών
τις ίδιες τιμές για κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού τους για κάθε
Στη συνέχεια δίδεται το παράδειγμα ότι οι συναρτήσεις με τύπο και με τύπο δεν είναι ίσες.
Παρακαλώ τα σχόλια σας σε ότι αφορα την ισότητα του πεδίου τιμών.
Ορισμός: Δύο πραγματικές συναρτήσεις και είναι ίσες αν και μόνο αν έχουν:
το ίδιο πεδίο ορισμού
το ίδιο πεδίο τιμών
τις ίδιες τιμές για κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού τους για κάθε
Στη συνέχεια δίδεται το παράδειγμα ότι οι συναρτήσεις με τύπο και με τύπο δεν είναι ίσες.
Παρακαλώ τα σχόλια σας σε ότι αφορα την ισότητα του πεδίου τιμών.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ισότητα Συναρτήσεων - Κύπρος
Δεν θα σχολιάσω κάτι, για το απλούστατο λόγο ότι ανήκω στην ομάδα συγγραφής. Θα ήθελα και εγώ να δω τα σχόλια των φίλων εδώ στο . Έχει δημιουργηθεί πολλή φασαρία γύρω από το θέμα αυτό και καλό θα είναι να "καθαρίσει".ttheodoros έγραψε:Στο σχολικό βιβλίο της Β' Λυκείου στην Κύπρο δίδεται ο ακόλουθος ορισμός για την συνέχεια δύο συναρτήσεων
Ορισμός: Δύο πραγματικές συναρτήσεις και είναι ίσες αν και μόνο αν έχουν:
το ίδιο πεδίο ορισμού
το ίδιο πεδίο τιμών
τις ίδιες τιμές για κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού τους για κάθε
Στη συνέχεια δίδεται το παράδειγμα ότι οι συναρτήσεις με τύπο και με τύπο δεν είναι ίσες.
Παρακαλώ τα σχόλια σας σε ότι αφορα την ισότητα του πεδίου τιμών.
Σωτήρης Λοϊζιάς
Re: Ισότητα Συναρτήσεων - Κύπρος
Να ξεκαθαρίσουμε ότι στον συμβολισμό το δεν είναι το πεδίο τιμών αλλά το σύνολο αφίξεως, του οποίου το πεδίο τιμών είναι υποσύνολο. Αν τα δύο ταυτίζονται η συνάρτηση είναι επί (επεικόνιση).
Στη θεώρηση των Bourbaki, μια συνάρτηση ορίζεται μονοσήμαντα από το σύνολο αφετηρίας της (που, στην περίπτωση της συνάρτησης, ταυτίζεται με το πεδίο ορισμού), το σύνολο αφίξεως και το γράφημα με τους γνωστούς περιορισμούς. Έτσι, οι δύο συναρτήσεις που δίνονται στο αρχικό μήνυμα είναι διαφορετικές αφού έχουν διαφορετικά σύνολα αφίξεως (αλλά το ίδιο πεδίο τιμών). Η μία είναι επί, η άλλη όχι.
Προσωπικά προτιμώ αυτή τη θεώρηση γιατί απλουστεύει πολύ τον χειρισμό της αντίστροφης συνάρτησης καθώς και της σύνθεσης συναρτήσεων, περιορίζοντας τα πολλά λόγια. Αν δεν κάνω λάθος, όμως, στο ελληνικό σχολικό βιβλίο χάνει έδαφος (ας με διορθώσουν οι πιο ενήμεροι αν κάνω λάθος). Για παράδειγμα, αρκεί μια συνάρτηση να είναι 1-1 για να θεωρηθεί "αντιστρέψιμη", κάτι που δεν ισχύει στη θεώρηση Bourbaki αφού η αντίστροφη της πρέπει να είναι .
Στη θεώρηση των Bourbaki, μια συνάρτηση ορίζεται μονοσήμαντα από το σύνολο αφετηρίας της (που, στην περίπτωση της συνάρτησης, ταυτίζεται με το πεδίο ορισμού), το σύνολο αφίξεως και το γράφημα με τους γνωστούς περιορισμούς. Έτσι, οι δύο συναρτήσεις που δίνονται στο αρχικό μήνυμα είναι διαφορετικές αφού έχουν διαφορετικά σύνολα αφίξεως (αλλά το ίδιο πεδίο τιμών). Η μία είναι επί, η άλλη όχι.
Προσωπικά προτιμώ αυτή τη θεώρηση γιατί απλουστεύει πολύ τον χειρισμό της αντίστροφης συνάρτησης καθώς και της σύνθεσης συναρτήσεων, περιορίζοντας τα πολλά λόγια. Αν δεν κάνω λάθος, όμως, στο ελληνικό σχολικό βιβλίο χάνει έδαφος (ας με διορθώσουν οι πιο ενήμεροι αν κάνω λάθος). Για παράδειγμα, αρκεί μια συνάρτηση να είναι 1-1 για να θεωρηθεί "αντιστρέψιμη", κάτι που δεν ισχύει στη θεώρηση Bourbaki αφού η αντίστροφη της πρέπει να είναι .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Re: Ισότητα Συναρτήσεων - Κύπρος
Γεια σας. Θέλω να ρωτήσω κάτι το μέλος "Soteris".
Ο ορισμός αρχίζει ως εξής : Δυο πραγματικές συναρτήσεις... . Όταν βλέπουμε αυτό, καταλαβαίνουμε αμέσως ότι το σύνολο αφίξεως είναι το .
Στη συνέχεια του ορισμού, τα είναι τα σύνολα τιμών των αντίστοιχα ;
Ο ορισμός αρχίζει ως εξής : Δυο πραγματικές συναρτήσεις... . Όταν βλέπουμε αυτό, καταλαβαίνουμε αμέσως ότι το σύνολο αφίξεως είναι το .
Στη συνέχεια του ορισμού, τα είναι τα σύνολα τιμών των αντίστοιχα ;
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: Ισότητα Συναρτήσεων - Κύπρος
Να πω ότι στην ενότητα αυτή για τους όρους σύνολο αφίξεως και πεδίο τιμών χρησιμοποιήθηκαν οι όροι πεδίο τιμών και σύνολο τιμών, αντίστοιχα.dement έγραψε:Να ξεκαθαρίσουμε ότι στον συμβολισμό το δεν είναι το πεδίο τιμών αλλά το σύνολο αφίξεως, του οποίου το πεδίο τιμών είναι υποσύνολο.
Σωτήρης Λοϊζιάς
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ισότητα Συναρτήσεων - Κύπρος
Μπορούμε να έχουμε και τον ορισμό της συνάρτησης από το ίδιο βιβλίο;
Re: Ισότητα Συναρτήσεων - Κύπρος
Ωραία, οπότε σε αυτό είμαστε εντάξει. Ας μείνουμε στη χρήση των συμβολισμών , και για τις αντίστοιχες έννοιες.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Re: Ισότητα Συναρτήσεων - Κύπρος
Αντιγράφω από την ενότητα:BAGGP93 έγραψε:Γεια σας. Θέλω να ρωτήσω κάτι το μέλος "Soteris".
Ο ορισμός αρχίζει ως εξής : Δυο πραγματικές συναρτήσεις... . Όταν βλέπουμε αυτό, καταλαβαίνουμε αμέσως ότι το σύνολο αφίξεως είναι το .
Στη συνέχεια του ορισμού, τα είναι τα σύνολα τιμών των αντίστοιχα ;
Η συνάρτηση ονομάζεται:
(α) συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής αν
(β) πραγματική συνάρτηση αν
Σωτήρης Λοϊζιάς
Re: Ισότητα Συναρτήσεων - Κύπρος
Αντιγράφω από την ενότητα και πάλι:Al.Koutsouridis έγραψε:Μπορούμε να έχουμε και τον ορισμό της συνάρτησης από το ίδιο βιβλίο;
Έστω δύο μη κενά σύνολα . Ονομάζουμε συνάρτηση από το σύνολο στο σύνολο μια αντιστοιχία (κανόνα), όπου σε κάθε στοιχείο του συνόλου αντιστοιχεί ένα και μόνον ένα στοιχείο του συνόλου .
Σωτήρης Λοϊζιάς
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ισότητα Συναρτήσεων - Κύπρος
Προσωπικά και εγώ προτιμώ αυτήν την προσέγγιση.
Αν μάλιστα θέλουμε να μιλάμε για επί συναρτήσεις τότε η συγκεκριμένη προσέγγιση είναι ουσιαστικά μονόδρομος. Π.χ. η συνάρτηση του παραδείγματος είναι επί ενώ η συνάρτηση του παραδείγματος δεν είναι επί. Δεν μπορούμε λοιπόν παρά να θεωρούμε τις δυο συναρτήσεις διαφορετικές. Και η μόνη τους διαφορά είναι ότι έχουν διαφορετικό πεδίο τιμών (σύνολο αφίξεως).
Μπορούμε αν θέλουμε να ορίσουμε το γράφημα μιας συνάρτησης να είναι το σύνολο . Στο συγκεκριμένο παράδειγμα οι και έχουν το ίδιο γράφημα αλλά δεν είναι ίσες.
Η συγκεκριμένη προσέγγιση έχει το μειονέκτημα ότι στην ZF θέλει προσοχή στο πως θα οριστεί η συνάρτηση ώστε να διαχωριστεί από το γράφημά της.
Αν μάλιστα θέλουμε να μιλάμε για επί συναρτήσεις τότε η συγκεκριμένη προσέγγιση είναι ουσιαστικά μονόδρομος. Π.χ. η συνάρτηση του παραδείγματος είναι επί ενώ η συνάρτηση του παραδείγματος δεν είναι επί. Δεν μπορούμε λοιπόν παρά να θεωρούμε τις δυο συναρτήσεις διαφορετικές. Και η μόνη τους διαφορά είναι ότι έχουν διαφορετικό πεδίο τιμών (σύνολο αφίξεως).
Μπορούμε αν θέλουμε να ορίσουμε το γράφημα μιας συνάρτησης να είναι το σύνολο . Στο συγκεκριμένο παράδειγμα οι και έχουν το ίδιο γράφημα αλλά δεν είναι ίσες.
Η συγκεκριμένη προσέγγιση έχει το μειονέκτημα ότι στην ZF θέλει προσοχή στο πως θα οριστεί η συνάρτηση ώστε να διαχωριστεί από το γράφημά της.
-
- Δημοσιεύσεις: 83
- Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 21, 2010 4:28 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία - Κύπρος
Re: Ισότητα Συναρτήσεων - Κύπρος
Θεωρώ πως δύο πραγματικές συναρτήσεις και με είναι (ή θα έπρεπε να είναι) ίσες.
Ποιά η σκοπιμότητα να μην θεωρούμε τις συναρτήσεις με τύπο και με τύπο ίσες;
Μπορώ να κατανοήσω να θεωρεί κάποιος τις συναρτήσεις που είναι 1-1 και επί διαφορετικές απο αυτές που είναι απλά 1-1 λόγω του ότι για τις πρώτες ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση ενώ για τις δεύτερες όχι.
Για παράδειγμα θεωρείστε τις συναρήσεις , και
με τύπο . Μπορώ να κατανοήσω τη λογική να θεωρεί κάποιος διαφορετικές τις και . Ποιά η σκοπιμότητα όμως να μήν θεωρούνται ίσες οι και ;
Ποιά η σκοπιμότητα να μην θεωρούμε τις συναρτήσεις με τύπο και με τύπο ίσες;
Μπορώ να κατανοήσω να θεωρεί κάποιος τις συναρτήσεις που είναι 1-1 και επί διαφορετικές απο αυτές που είναι απλά 1-1 λόγω του ότι για τις πρώτες ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση ενώ για τις δεύτερες όχι.
Για παράδειγμα θεωρείστε τις συναρήσεις , και
με τύπο . Μπορώ να κατανοήσω τη λογική να θεωρεί κάποιος διαφορετικές τις και . Ποιά η σκοπιμότητα όμως να μήν θεωρούνται ίσες οι και ;
τελευταία επεξεργασία από ttheodoros σε Παρ Νοέμ 11, 2016 8:01 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Ισότητα Συναρτήσεων - Κύπρος
Από τη στιγμή που συμφωνείς ότι η θα έπρεπε να θεωρείται διαφορετική, δεν καταλαβαίνω την ένστασή σου σχετικά με τις . Δηλαδή λες ότι οι συναρτήσεις επί θα πρέπει να θεωρούνται διαφορετικές από όλες τις άλλες με το ίδιο γράφημα, οι οποίες θα θεωρούνται ίσες μεταξύ τους ασχέτως πεδίου τιμών;ttheodoros έγραψε: Για παράδειγμα θεωρείστε τις συναρήσεις , και
με τύπο . Μπορώ να κατανοήσω τη λογική να θεωρεί κάποιος διαφορετικές τις και . Ποιά η σκοπιμότητα όμως να μήν θεωρούνται ίσες οι και ;
Πάντως, για να ξεκαθαρίσω αυτό που έλεγα προηγουμένως, ορίστε δύο ορισμοί της σύνθεσης συναρτήσεων:
1. Έστω δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού αντίστοιχα. Ονομάζουμε σύνθεση τη συνάρτηση με . Αυτή έχει νόημα αν . Το πεδίο ορισμού της είναι .
2. Έστω συναρτήσεις και . Η σύνθεση τους ορίζεται ως με .
Δε νομίζω να υπάρχει αμφιβολία τόσο ως προς την καλαισθησία όσο και ως προς την οικονομία.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ισότητα Συναρτήσεων - Κύπρος
Γράφω τον ορισμό της συνάρτησης που έχει ο Γ.Μοσχοβάκης στο βιβλίο του Θεωρία Συνόλων.
''Συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο και πεδίο τιμών το σύνολο
είναι ένα οποιοδήποτε υποσύνολο που ικανοποιεί τη συνθήκη
''
Γράφω και τον ορισμό που έχει ο PAUL J. COHEN στο εξαιρετικό βιβλίο του
Set Theory and the Continuum Hypothesis
''A function is a set of order pairs such that .
The set of such that is called the domain.The set of is the range.
We say maps into a set ,if the range of is contained in .''
Με βάση τα παραπάνω θεωρώ ότι υπάρχει αστοχία στον ορισμό.
Και σίγουρα οι συναρτήσεις που παρατέθηκαν στην αρχή είναι ίσες.
Να σημειώσω και κάτι ακόμα.Το σύνολο τιμών συνήθως είναι ένα σύνολο που η εύρεση του είναι αδύνατη.Μόνο περιγραφή μπορούμε
να κάνουμε.
''Συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο και πεδίο τιμών το σύνολο
είναι ένα οποιοδήποτε υποσύνολο που ικανοποιεί τη συνθήκη
''
Γράφω και τον ορισμό που έχει ο PAUL J. COHEN στο εξαιρετικό βιβλίο του
Set Theory and the Continuum Hypothesis
''A function is a set of order pairs such that .
The set of such that is called the domain.The set of is the range.
We say maps into a set ,if the range of is contained in .''
Με βάση τα παραπάνω θεωρώ ότι υπάρχει αστοχία στον ορισμό.
Και σίγουρα οι συναρτήσεις που παρατέθηκαν στην αρχή είναι ίσες.
Να σημειώσω και κάτι ακόμα.Το σύνολο τιμών συνήθως είναι ένα σύνολο που η εύρεση του είναι αδύνατη.Μόνο περιγραφή μπορούμε
να κάνουμε.
-
- Δημοσιεύσεις: 83
- Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 21, 2010 4:28 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία - Κύπρος
Re: Ισότητα Συναρτήσεων - Κύπρος
Δημήτρη, όπως είπα και στην αρχή της τοποθέτησης μου:dement έγραψε: Από τη στιγμή που συμφωνείς ότι η θα έπρεπε να θεωρείται διαφορετική, δεν καταλαβαίνω την ένστασή σου σχετικά με τις . Δηλαδή λες ότι οι συναρτήσεις επί θα πρέπει να θεωρούνται διαφορετικές από όλες τις άλλες με το ίδιο γράφημα, οι οποίες θα θεωρούνται ίσες μεταξύ τους ασχέτως πεδίου τιμών;
Απλά κατανοώ τη λογική να θεωρεί κάποιος τις επί συναρτήσεις διαφορετικές απο τις υπόλοιπες στο παράδειγμα που έδωσα, χωρίς να συμφωνώ προσωπικά με αυτή τη λογική.ttheodoros έγραψε: Θεωρώ πως δύο πραγματικές συναρτήσεις και με είναι (ή θα έπρεπε να είναι) ίσες.
Άλλωστε ειδικά στα σχολικά μαθηματικά που γίνονται τόσες "εκπτώσεις" σε άλλα θέματα πιο ουσιαστικά, θεωρώ αρκετά εξεζητημένη την απαίτηση του ορισμού δύο ίσες συναρτήσεις να έχουν και ίδιο πεδίο τιμών.
Πάντως και στην ελληνική βιβλιογραφία που το έψαξα λίγο δεν υπάρχει ένας καθολικά αποδεκτός ορισμός. Για παράδειγμα στα "Στοιχεία Μαθηματικής Αναλύσεως-Μαρίνου Ζήβα", στην "Μαθηματική Ανάλυση-Θεμιστοκλή Ράσσια" και σε άλλα, δεν απαιτείται δύο ίσες συναρτήσεις να έχουν ίδιο πεδίο τιμών. Ο Θεόδωρος Εξαρχάκος για παράδειγμα στα βιβλία του το απαιτεί.
Το ίδιο συμβαίνει και με την αγγλική βιβλιογραφία..
Re: Ισότητα Συναρτήσεων - Κύπρος
Σε τελική ανάλυση είναι νομίζω θέμα προτίμησης. Αν κάποιος έχει μία θεώρηση top-down των συναρτήσεων ως ειδικής περίπτωσης σχέσης μεταξύ συνόλων, προτιμά το πεδίο τιμών να είναι μέρος του ορισμού. Αν πάλι τις βλέπει bottom-up ως "μηχανισμούς μετατροπής" του σε το πεδίο τιμών περνάει σε δεύτερη μοίρα. Η ουσία είναι να συνεννοούμαστε.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
-
- Δημοσιεύσεις: 83
- Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 21, 2010 4:28 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία - Κύπρος
Re: Ισότητα Συναρτήσεων - Κύπρος
Συμφωνώ απόλυτα!dement έγραψε:Σε τελική ανάλυση είναι νομίζω θέμα προτίμησης. Η ουσία είναι να συνεννοούμαστε.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: Ισότητα Συναρτήσεων - Κύπρος
Δυστυχώς αυτή τη συζήτηση την έχασα . Θα έλεγα ότι δεν χρειάζεται φόρτωμα ο ορισμός της ισότητας συναρτήσεων.
Τώρα ότι και να πω είναι αργά.
Ας το δούνε τα παιδιά στην Κύπρο κι αν δεν είναι πολύ αργά , ας το αλλάξουν από του χρόνου.Δεν είναι κακό να γίνονται αλλαγές ακόμα και από την ίδια ομάδα. Αν το αλλάξει η άλλη ομάδα, τότε θα φαίνεται ως λάθος.Αν το αλλάξει η ίδια θα είναι βελτίωση.
Τώρα ότι και να πω είναι αργά.
Ας το δούνε τα παιδιά στην Κύπρο κι αν δεν είναι πολύ αργά , ας το αλλάξουν από του χρόνου.Δεν είναι κακό να γίνονται αλλαγές ακόμα και από την ίδια ομάδα. Αν το αλλάξει η άλλη ομάδα, τότε θα φαίνεται ως λάθος.Αν το αλλάξει η ίδια θα είναι βελτίωση.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες