ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ
Συντονιστής: emouroukos
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ
Εστω παραγωγίσιμη
ανοικτό διάστημα και
Εστω συνεχής.
Ισχύει ότι
Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο
ανοικτό διάστημα και
Εστω συνεχής.
Ισχύει ότι
Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ
Αφού η είναι παραγωγίσιμη, είναι και συνεχής. Άρα και η συνάρτηση είναι συνεχής.
Οπότε μπορώ να ορίσω την συνάρτηση ως
Επιπλέον από το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού η είναι παραγωγίσιμη με για κάθε .
Θεωρώ τώρα την συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο με
Άρα η είναι σταθερή στο . Επειδή , τότε για κάθε . Άρα και για κάθε όπως θέλαμε να δείξουμε.
[Με ένα βηματάκι παραπάνω θα μπορούσα να δείξω ότι για κάθε αλλά δεν χρειαζόταν για το επιχείρημα.]
Οπότε μπορώ να ορίσω την συνάρτηση ως
Επιπλέον από το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού η είναι παραγωγίσιμη με για κάθε .
Θεωρώ τώρα την συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο με
Άρα η είναι σταθερή στο . Επειδή , τότε για κάθε . Άρα και για κάθε όπως θέλαμε να δείξουμε.
[Με ένα βηματάκι παραπάνω θα μπορούσα να δείξω ότι για κάθε αλλά δεν χρειαζόταν για το επιχείρημα.]
Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ
Έστω ότι υπάρχει που ανήκει στο ώστε
τότε που ανήκει στο
έτσι
ακόμα πρέπει να ισχύει
Άρα
ΑΤΟΠΟ
Υπάρχουν λάθη στον παραπάνω συλλογισμό ;
τότε που ανήκει στο
έτσι
ακόμα πρέπει να ισχύει
Άρα
ΑΤΟΠΟ
Υπάρχουν λάθη στον παραπάνω συλλογισμό ;
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ
Κάμποσα. Π.χ.mikemoke έγραψε:Υπάρχουν λάθη στον παραπάνω συλλογισμό ;
Δεν μπορούμε να απλοποιήσουμε το .mikemoke έγραψε: Άρα
Το αριστερό όριο είναι εσφαλμένο και δεν βλέπω πώς βγήκε το δεξί.mikemoke έγραψε:
Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ
Έστω με ώστε (πρώτη ρίζα μετά το ) ,ακόμα προκύπτειΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω παραγωγίσιμη
ανοικτό διάστημα και
Εστω συνεχής.
Ισχύει ότι
Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο
Παρατηρούμε ότι με
Yπάρχει διάστημα ώστε f κυρτή , f(x)>0 και f'(x)<0
για κάθε ισχύει
Άρα
Έτσι
ATOΠΟ
Με τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε αν
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ
Φαντάζομαι εννοείς «πρώτη ρίζα μετά το ». Δεν μπορούμε όμως να πούμε κάτι τέτοιο. (Δες για παράδειγμα το γράφημα της .mikemoke έγραψε:Έστω με ώστε (πρώτη ρίζα μετά το )ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω παραγωγίσιμη
ανοικτό διάστημα και
Εστω συνεχής.
Ισχύει ότι
Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο
Επεξεργασία: Εννοούσα βέβαια την συνάρτηση και όχι αυτήν που έγραψα.
Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ
Γιατί δεν μπορούμε να το πούμε ;Demetres έγραψε:Φαντάζομαι εννοείς «πρώτη ρίζα μετά το ». Δεν μπορούμε όμως να πούμε κάτι τέτοιο. (Δες για παράδειγμα το γράφημα της .mikemoke έγραψε:Έστω με ώστε (πρώτη ρίζα μετά το )ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω παραγωγίσιμη
ανοικτό διάστημα και
Εστω συνεχής.
Ισχύει ότι
Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ
Εκ παραδρομής έδωσα λανθασμένο παράδειγμα. Δες το γράφημα της . Υπάρχουν θετικές τιμές του στις οποίες μηδενίζεται αλλά δεν υπάρχει μικρότερη τέτοια.mikemoke έγραψε: Γιατί δεν μπορούμε να το πούμε ;
Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ
Δεν κατάλαβα .μηδενιζεται τι ; και το τέτοια τι σημαίνειDemetres έγραψε:Εκ παραδρομής έδωσα λανθασμένο παράδειγμα. Δες το γράφημα της . Υπάρχουν θετικές τιμές του στις οποίες μηδενίζεται αλλά δεν υπάρχει μικρότερη τέτοια.mikemoke έγραψε: Γιατί δεν μπορούμε να το πούμε ;
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ
Όσο μικρή τιμή κι αν πάρεις πάντα θα υπάρχει κάποια μικρότερη.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ
Δημήτρη αυτό από ότι βλέπω είναι το μόνο σωστό από αυτά που γράφει mikemoke.Demetres έγραψε:Φαντάζομαι εννοείς «πρώτη ρίζα μετά το ». Δεν μπορούμε όμως να πούμε κάτι τέτοιο. (Δες για παράδειγμα το γράφημα της .mikemoke έγραψε:Έστω με ώστε (πρώτη ρίζα μετά το )ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω παραγωγίσιμη
ανοικτό διάστημα και
Εστω συνεχής.
Ισχύει ότι
Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο
Επεξεργασία: Εννοούσα βέβαια την συνάρτηση και όχι αυτήν που έγραψα.
και επειδή η είναι συνεχής και
π.χ το
Yπάρχει διάστημα [k,t) ώστε f κυρτή , f(x)>0 και f'(x)<0
δεν είναι σωστό γιατί δεν γνωρίζουμε τίποτα για την εκτός ότι είναι συνεχής.
Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ
Γνωρίζουμε και ότι f'(t)=0 αφού η g είναι συνεχής και άρα για t δίνει πεπερασμένη τιμή και από κει βγάζω τηνΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Demetres έγραψε:Δημήτρη αυτό από ότι βλέπω είναι το μόνο σωστό από αυτά που γράφει mikemoke.mikemoke έγραψε:Έστω με ώστε (πρώτη ρίζα μετά το ) [/quoteΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω παραγωγίσιμη
ανοικτό διάστημα και
Εστω συνεχής.
Ισχύει ότι
Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο
Φαντάζομαι εννοείς «πρώτη ρίζα μετά το ». Δεν μπορούμε όμως να πούμε κάτι τέτοιο. (Δες για παράδειγμα το γράφημα της .
Επεξεργασία: Εννοούσα βέβαια την συνάρτηση και όχι αυτήν που έγραψα.
και επειδή η είναι συνεχής και
π.χ το
Yπάρχει διάστημα [k,t) ώστε f κυρτή , f(x)>0 και f'(x)<0
δεν είναι σωστό γιατί δεν γνωρίζουμε τίποτα για την εκτός ότι είναι συνεχής.
κυρτότητα κτλ κοντά στο t.Τωρα αν στο είναι κοίλη τότε αφού f(t)=0 και f'(t)=0 προκύπτει ότι f(x) < 0 άτοπο
Να σημειωσω ότι το διάστημα είναι τέτοιο ώστε η f να είναι είτε κοίλη είτε κυρτή
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ
Η στο παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή.Μπορεί όμως να υπάρχειmikemoke έγραψε:Γνωρίζουμε και ότι f'(t)=0 αφού η g είναι συνεχής και άρα για t δίνει πεπερασμένη τιμή και από κει βγάζω τηνΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Demetres έγραψε:Δημήτρη αυτό από ότι βλέπω είναι το μόνο σωστό από αυτά που γράφει mikemoke.mikemoke έγραψε:Έστω με ώστε (πρώτη ρίζα μετά το ) [/quoteΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω παραγωγίσιμη
ανοικτό διάστημα και
Εστω συνεχής.
Ισχύει ότι
Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο
Φαντάζομαι εννοείς «πρώτη ρίζα μετά το ». Δεν μπορούμε όμως να πούμε κάτι τέτοιο. (Δες για παράδειγμα το γράφημα της .
Επεξεργασία: Εννοούσα βέβαια την συνάρτηση και όχι αυτήν που έγραψα.
και επειδή η είναι συνεχής και
π.χ το
Yπάρχει διάστημα [k,t) ώστε f κυρτή , f(x)>0 και f'(x)<0
δεν είναι σωστό γιατί δεν γνωρίζουμε τίποτα για την εκτός ότι είναι συνεχής.
κυρτότητα κτλ κοντά στο t.Τωρα αν στο είναι κοίλη τότε αφού f(t)=0 και f'(t)=0 προκύπτει ότι f(x) < 0 άτοπο
Να σημειωσω ότι το διάστημα είναι τέτοιο ώστε η f να είναι είτε κοίλη είτε κυρτή
με τότε όλα αυτά που γράφεις δεν ισχύουν.
Να σημειώσω ότι το θέμα είναι πολύ πιό βαθύ από ότι φαίνεται.
Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ
Αν καταλαβαίνω καλά Μπορει στο να αλλάζει μονοτονία ή και κυρτότητα άπειρες φορές και έτσι δεν μπορώ να ισχυριστώ τα παραπάνω μόνο με τα δεδομένα (f(t)=0,f'(t)=0).Δεν θα ισχύει όμως κατι τέτοιο αν το διάστημα γινόταν απειροστό ;ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Η στο παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή.Μπορεί όμως να υπάρχειmikemoke έγραψε:Γνωρίζουμε και ότι f'(t)=0 αφού η g είναι συνεχής και άρα για t δίνει πεπερασμένη τιμή και από κει βγάζω τηνΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Demetres έγραψε:Δημήτρη αυτό από ότι βλέπω είναι το μόνο σωστό από αυτά που γράφει mikemoke.mikemoke έγραψε:Έστω με ώστε (πρώτη ρίζα μετά το ) [/quoteΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω παραγωγίσιμη
ανοικτό διάστημα και
Εστω συνεχής.
Ισχύει ότι
Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο
Φαντάζομαι εννοείς «πρώτη ρίζα μετά το ». Δεν μπορούμε όμως να πούμε κάτι τέτοιο. (Δες για παράδειγμα το γράφημα της .
Επεξεργασία: Εννοούσα βέβαια την συνάρτηση και όχι αυτήν που έγραψα.
και επειδή η είναι συνεχής και
π.χ το
Yπάρχει διάστημα [k,t) ώστε f κυρτή , f(x)>0 και f'(x)<0
δεν είναι σωστό γιατί δεν γνωρίζουμε τίποτα για την εκτός ότι είναι συνεχής.
κυρτότητα κτλ κοντά στο t.Τωρα αν στο είναι κοίλη τότε αφού f(t)=0 και f'(t)=0 προκύπτει ότι f(x) < 0 άτοπο
Να σημειωσω ότι το διάστημα είναι τέτοιο ώστε η f να είναι είτε κοίλη είτε κυρτή
με τότε όλα αυτά που γράφεις δεν ισχύουν.
Να σημειώσω ότι το θέμα είναι πολύ πιό βαθύ από ότι φαίνεται.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ
Δεν υπάρχει τέτοια έννοια στα κλασσικά Μαθηματικά.mikemoke έγραψε: αν το διάστημα γινόταν απειροστό ;
Εννοια απειροστού υπάρχει στην Non standard Analysis αλλά πάει
πολύ μακριά η βαλίτσα.
Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ
και συνεχής άρα δεν παρουσιάζει συσσώρευση ριζών στο .Έστω ότι υπάρχει πρώτη ρίζα μετα το , ,ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Σεπ 09, 2016 11:54 amΕστω παραγωγίσιμη
ανοικτό διάστημα και
Εστω συνεχής.
Ισχύει ότι
Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο
.
συνεχής
Αρα θα υπάρχουν ακολουθίες με και
ώστε και .
Aπό KΠ
Άρα
AΤΟΠΟ συνεχής
Σημείωση: Aν δεν υπάρχουν τέτοιες ακολουθιές τότε υπάρχει
1η περίπτωση : με
2η περίπτωση : με
Kαι στις δύο περιπτώσεις προκύπτει
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ
Αρα θα υπάρχουν ακολουθίες με καιmikemoke έγραψε: ↑Πέμ Φεβ 01, 2018 1:43 pmκαι συνεχής άρα δεν παρουσιάζει συσσώρευση ριζών στο .Έστω ότι υπάρχει πρώτη ρίζα μετα το , ,ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Σεπ 09, 2016 11:54 amΕστω παραγωγίσιμη
ανοικτό διάστημα και
Εστω συνεχής.
Ισχύει ότι
Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο
.
συνεχής
Αρα θα υπάρχουν ακολουθίες με και
ώστε και .
Aπό KΠ
Άρα
AΤΟΠΟ συνεχής
Σημείωση: Aν δεν υπάρχουν τέτοιες ακολουθιές τότε υπάρχει
1η περίπτωση : με
2η περίπτωση : με
Kαι στις δύο περιπτώσεις προκύπτει
ώστε και .
Aπό KΠ
Σημείωση: Aν δεν υπάρχουν τέτοιες ακολουθιές τότε υπάρχει
1η περίπτωση : με
2η περίπτωση : με
Μιχάλη αν έχεις την ευγενή καλοσύνη εξήγησε πως προκύπτουν
αυτά που έχω αντιγράψει.
Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ
Καλύτερα να πούμε έστω ότι υπάρχουν ακολουθίες με καιΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 03, 2018 10:32 pmΑρα θα υπάρχουν ακολουθίες με καιmikemoke έγραψε: ↑Πέμ Φεβ 01, 2018 1:43 pmκαι συνεχής άρα δεν παρουσιάζει συσσώρευση ριζών στο .Έστω ότι υπάρχει πρώτη ρίζα μετα το , ,ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Σεπ 09, 2016 11:54 amΕστω παραγωγίσιμη
ανοικτό διάστημα και
Εστω συνεχής.
Ισχύει ότι
Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο
.
συνεχής
Αρα θα υπάρχουν ακολουθίες με και
ώστε και .
Aπό κριτήριο παρεμβολής
Άρα
AΤΟΠΟ συνεχής
Σημείωση: Aν δεν υπάρχουν τέτοιες ακολουθιές τότε υπάρχει
1η περίπτωση : με
2η περίπτωση : με
Kαι στις δύο περιπτώσεις προκύπτει
ώστε και .
Aπό κριτήριο παρεμβολής
Σημείωση: Aν δεν υπάρχουν τέτοιες ακολουθιές τότε υπάρχει
1η περίπτωση : με
2η περίπτωση : με
Μιχάλη αν έχεις την ευγενή καλοσύνη εξήγησε πως προκύπτουν
αυτά που έχω αντιγράψει.
ώστε και .
Aπό κριτήριο παρεμβολής
Και μετά αν δεν υπάρχουν οι παραπάνω ακολουθίες και αφού είναι συγκλίνουσες στο τότε θα υπάρχει τέτοιο ώστε
με
'Αρα με (1).
Αφού αν δεν υπάρχει τότε θα μπορούμε να θεωρήσουμε τις παραπάνω ακολουθίες.
Απο (1) προκύπτει
Άρα είναι αύξουσα.
Έστω και η ευθεία που διέρχεται από
Aπό αύξουσα
Aπό υπάρχει τέτοιο ώστε
Tότε άρα .Επομένως πρέπει να υπάρχουν οι παραπάνω ακολουθίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες