Εγγύτητα ΑΜ-ΓΜ
Συντονιστής: nsmavrogiannis
Εγγύτητα ΑΜ-ΓΜ
Ξέρουμε ότι αν ο αριθμητικός και ο γεωμετρικός μέσος αριθμών είναι "κοντά" ο ένας στον άλλο, τότε και οι αριθμοί είναι "κοντινοί". Αυτό το πρόβλημα ποσοτικοποιεί αυτή την εγγύτητα.
1. Αποδείξτε ότι, για , η εξίσωση έχει ακριβώς δύο λύσεις με .
2. Έστω θετικοί με και .
Αποδείξτε ότι, αν , τότε για κάθε , όπου οι λύσεις της εξίσωσης .
(Από το "The Cauchy-Schwarz Master Class" του J. Michael Steele)
1. Αποδείξτε ότι, για , η εξίσωση έχει ακριβώς δύο λύσεις με .
2. Έστω θετικοί με και .
Αποδείξτε ότι, αν , τότε για κάθε , όπου οι λύσεις της εξίσωσης .
(Από το "The Cauchy-Schwarz Master Class" του J. Michael Steele)
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Εγγύτητα ΑΜ-ΓΜ
1) Θεωρώ την συνάρτηση . Είναι και . Η είναι αυστηρώς κυρτή οπότε η εξίσωση έχει το πολύ δύο λύσεις στο .
Επειδή, και , τότε η θα έχει μία λύση στο και μία στο .
2) Ορίζω . Τότε και . Η γίνεται
Θέτω Τότε για κάθε , και
Πρέπει λοιπόν για κάθε . Δηλαδή, για , πρέπει . Άρα πρέπει .
Επειδή, και , τότε η θα έχει μία λύση στο και μία στο .
2) Ορίζω . Τότε και . Η γίνεται
Θέτω Τότε για κάθε , και
Πρέπει λοιπόν για κάθε . Δηλαδή, για , πρέπει . Άρα πρέπει .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες