Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 2010

Nick1990 · #1

Γραφω και εδω την ανακοινωση σε περιπτωση που παρακολουθουν το φορουμ καποιοι φοιτητες του ΕΜΠ που θα ενδιαφεροντουσαν να συμμετασχουν. Μετα το διαγωνισμο θα αναρτησω εδω και τα θεματα για να συζητησουμε ιδεες/λυσεις κτλ.

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ

Την Παρασκευή 14 Μαΐου 2010, ώρα 3.00, θα γίνει στην αίθουσα Σεμιναρίων του Τομέα Μαθηματικών γραπτός προκριματικός διαγωνισμός για όλους τους σπουδαστές του Ε. Μ. Πολυτεχνείου που ενδιαφέρονται να συμμετάσχουν στη Διεθνή Φοιτητική Ολυμπιάδα που θα διεξαχθεί από 24 μέχρι και 30 Ιουλίου 2010 στο Μπλαγκόεβκραντ της Βουλγαρίας (δες: www.imc-math.org).

Δυνατότητα συμμετοχής έχουν όλοι οι σπουδαστές που δεν έχουν ξεπεράσει το 8ο εξάμηνο. Η εξεταστέα ύλη είναι η ύλη των διεθνών φοιτητικών μαθηματικών Ολυμπιάδων και αφορά την Άλγεβρα, Ανάλυση (Πραγματική και Μιγαδική) και Διακριτά Μαθηματικά.
Θα επιλεγεί μία ομάδα 6-9 σπουδαστών, σύμφωνα με τη σειρά της βαθμολογίας του διαγωνισμού.

Όσοι σπουδαστές ενδιαφέρονται να λάβουν μέρος στο διαγωνισμό, να ενημερώσουν τη Γραμματεία του Τομέα Μαθηματικών, κ. Ελ. Σκούρση, ισόγειο κτιρίου Ε) ή το μέλος της Επιτροπής του διαγωνισμού κ. Α. Φελλούρη, (afellou@math.ntua.gr), (Κτίριο Ε, γραφείο 327) μέχρι την 13η Μαΐου 2010.

Αθήνα, 30-4-2009

Η ΕΠΙΤΡΟΠΗ

Κώστας Παππέλης · #2

Ως γιατρός έχω να δηλώσω αδικημένος

... Κανένας προκριματικός δεν καλύπτει τη σχολή μου. Ελπίζω να με αφήσουν να συμμετάσχω στο διαγωνισμό του μαθηματικού.

Nick1990 · #3

Επαναφερω τη συζητηση για να ανεβασω τα θεματα:

1) Να υπολογιστει η οριζουσα του πινακα:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & ...& n-2 & n-1 & n \\ 2 & 3 & ... & n-1 & n & n \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ n & n & ... & ... & ... & n \end{pmatrix}$
(10 points)

2) Να υπολογιστει το αθροισμα της σειρας:

$\sum_{k=1}^{+\infty}{Arctan{\frac{2n}{2 + n^2 + n^4}}}$
(15 points)

3) Να βρεθουν ολες οι συναρτησεις $f,g: R \rightarrow R$ για τις οποιες:

$f(x - f(y)) = xf(y) - yf(x) + g(x) \forall x,y \in R$
(15 points)

4) Να βρεθουν ολες οι συνεχεις συναρτησεις $f: R \rightarrow [1, +\infty)$ , για τις οποιες υπαρχει a > 0

και $k \in N^{*}$ ωστε:

$f(x)f(2x)...f(nx) \leq an^k \forall (x, n) \in R \times N^{*}$
(20 points)

5) Εστω $k \in N, M = \{1,2,...k\}, e > 0$ , και συναρτησεις $p_1, p_2, ... p_k: M \rightarrow [0, 1]$ ωστε $\sum_{i=1}^{k}{p_j(i)} = 1 \forall j \in M$ .
Νδο:

α) Υπαρχει Μ' υποσυνολο του Μ με
$i) 1 \in M'$ και
$ii) j \in M' \Leftrightarrow \sum_{i<j, i \in M'}{p_j(i)} < e$

β) Υπαρχει $m \leq [\frac{1}{e}]$ και F_1,.... F_m

ξενα ανα 2 υποσυνολα του Μ, ωστε:
$i) \cup_{q=1}^{m}{F_q} = M$ και
$ii) \forall 1 \leq q \leq m, j \in F_q$ ισχυει $\sum_{i \in F_q, i \leq j}{p_j(i)} < e$

γ) Υπαρχει $m \leq [\frac{1}{e}]^2$ και G_1,.... G_m

ξενα ανα 2 υποσυνολα του Μ, ωστε:
$i) \cup_{q=1}^{m}{G_q} = M$ και
$ii) \forall 1 \leq q \leq m, j \in G_q$ ισχυει $\sum_{i \in G_q, i \neq j}{p_j(i)} < e$
(20 points)

6) Εστω $f: R \rightarrow R$ παραγωγισημη και a < b

i) Εστω

, Νδο υπαρχουν x_1, x_2, k

με $a \leq x_1 < k < x_2 \leq b$ ωστε $f'(k) = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} = 0$ (Το θεωρημα Dourboux δεν θεωρειτε γνωστο)

ii) Χρησημοποιοντας το παραπανω, νδο:
Αν $f'(a) \neq f'(b)$ , τοτε για καθε

μεταξυ των f'(a), f'(b)

υπαρχουν

ωστε $a \leq x_1 < k < x_2 \leq b$ και $f'(k) = m = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ .

Με βαση τα παραπανω να δειχτει οτι το f'(R)

ειναι διαστημα και οτι καθε εσωτερικο σημειο του διαστηματος αυτου γραφεται στη μορφη $\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ με $x_1, x_2 \in R, x_1 \leq x_2$ .
(20 points)

Τα θεματα ηταν για 4:30 ωρες.

#4

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ilias_Zad · #5

Και εγω σε hide καποιες λυσεις ακόμα

(socrates ισως κατι μικρο λογικά σου ξέφυγε στην συναρτησιακή)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#6

Βάζω την λύση μου για την (4):

Έχουμε $f(0)^n \leqslant an^k$ για κάθε

και άρα

αφού $(an^k)^{1/n} \to 1$ .

Έστω x > 0

με $f(x) > 1 + 2\varepsilon$ . Τότε υπάρχει $\delta > 0$ με $f(y) > 1 + \varepsilon$ για κάθε $y \in [x-\delta,x+\delta]$ . Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $\delta < x$ . Παίρνω $z = 2\delta/m$ και $n = \lceil (x+\delta)/z \rceil = \lceil m(x+\delta)/2\delta \rceil$ .

Τότε $f(z) \cdots f(nz) \leqslant an^k$ και επειδή κάθε όρος στο αριστερό μέλος είναι τουλάχιστον 1 και επίσης τουλάχιστον

όροι του αριστερού μέλους είναι τουλάχιστον $1 + \varepsilon$ έχουμε $\displaystyle{ (1 + \varepsilon)^m \leqslant a \lceil m(x + \delta)/2\delta\rceil^k}$ το οποίο είναι άτοπο αφού $\displaystyle{ \lceil m(x + \delta)/2\delta\rceil^{k/m} \to 1}$ (τα $a,x,\delta,k$ εδώ είναι σταθερές).

Ηλία μπορείς να μας δώσεις και την λύση που γνωρίζεις για την (4);

#7

Μήπως υπάρχει κάποια λάθη εδώ

5α(ii) $j \in M' \Leftrightarrow \sum_{i<j, i \in M'}{p_j(i)} < e$

5β) Υπαρχει $m \leq [\frac{1}{e}]$

5γ) Υπαρχει $m \leq [\frac{1}{e}]^2$

billy_scabilly · #8

Η λύση που έκανα στο 4 εγώ κατά τη διάρκεια του διαγωνισμού,είναι να βάλεις ln,να θέσεις το x=u/n,να διαιρέσεις με ν και να στείλεις το ν στο άπειρο.Το αριστερό μέλος πάει σε άθροισμα Riemman,γίνεται ολοκήρωμα και το δεξι γίνεται μηδέν.Το ζητούμενο έπεται άμεσα.

Nick1990 · #9

Ilias_Zad έγραψε:Και εγω σε hide καποιες λυσεις ακόμα (socrates ισως κατι μικρο λογικά σου ξέφυγε στην συναρτησιακή)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
3) Aρχικα θα δειξουμε οτι η f εχει ρίζα.
Αν δεν ειναι το τοτε για , $y=\frac{g(0)}{f(0)}$ παιρνουμε την $x_0=-f(\frac{g(0)}{f(0)})$ ως μια.

Τωρα λοιπον επιλεγουμε εστω μια ριζα της και θετουμε οπου το .

Toτε παιρνουμε .

Αντικαθιστωντας και θετοντας παιρνουμε

αρα γραμμικη και το πολ/σιο της.

Oποτε αντικαθιστωντας , στην αρχικη με λιγες πραξεις παιρνουμε την ζητουμενη οικογενεια λυσεων.

Αν δεν κανω λαθος πρεπει να ειναι: και

6)
a) H f δεν ειναι στο αφου ως συνεχης θα ηταν και γνησιως μονοτονη.
Oμως αν ηταν ,
επειδη σε μια περιοχη δεξια του ισχυει θα επρεπε να ειναι φθινουσα κατι που δεν γινεται γιατι σε μια περιοχη αριστερα του ειναι .

Τωρα με ενα θμτ παιρνουμε το ζητουμενο.

b) Παρομοιο επιχειρημα με την

c) Το οτι ειναι διαστημα ειναι αμεσο αφου οποιος αριθμος αναμεσα σε 2 στοιχεια του περιεχεται στο συνολο.
Το οτι μπορει να γραφτει ετσι απορρει απο το (b).

Τελος να πω οτι η (4) ειναι σχετικα γνωστη ασκηση σε βιβλία διαγωνισμων και βγαινει με αθροισμα riemman οτι η μονη f που ικανοποιει ειναι η 1.

Σωστα ειναι με το -, και εγω ετσι τις εβγαλα, απλα μετα γραφεις a^2 = (-a)^2

και προκειπτει ο τυπος με +

Ilias_Zad · #10

! Δεν το είχα διαβάσει καλά. συγνώμη.

Δημήτρη ωραία λύση στο 4. Αυτη που ξέρω είναι αυτη του billy.
Σαν σχόλιο να πω ότι λείπει ένα θέμα γραμμικής...

Κώστας Παππέλης · #11

Ωραία θέματα που δε στηρίζονταν τόσο στις πολλές γνώσεις, όσο στις τεχνικές και τη σκέψη.

Όσο για τη γραμμική που λείπει, στο Πολυτεχνείο δεν πολυκάνουν γραμμική απ' ότι ξέρω, τουλάχιστον στους ηλεκτρολόγους.

billy_scabilly · #12

Κώστας Παππέλης έγραψε:Ωραία θέματα που δε στηρίζονταν τόσο στις πολλές γνώσεις, όσο στις τεχνικές και τη σκέψη.

Όσο για τη γραμμική που λείπει, στο Πολυτεχνείο δεν πολυκάνουν γραμμική απ' ότι ξέρω, τουλάχιστον στους ηλεκτρολόγους.

Δε συμφωνώ βασικά.Το πρώτο θέμα ήταν αστείο,το 2 μου είπανε ότι είχε μπει mathlinks,το 4 ο Ηλίας είπε ότι είναι στο Putnam and Beyond,το 6 ήταν το Θεώρημα Darboux(που θα πρεπε να θεωρείται γνωστό)-οπότε κάποιος απλά διαβασμένος μπορεί να τα πετύχαινε κάπου,κάποτε και να περνούσε-,το 5 παίζει να είναι και λάθος(κρατάω μια επιφύλαξη αν και τα ακρά με το ε εμένα δεν μ πολυβγήκανε,κάτι παρόμοιο σχολίασε και ο Demetres πιο πάνω),το 3 εκτός λογικής ΙΜC,ήταν περισσότερο ΙΜΟ,καθώς δεν έλεγε τίποτα για συνέχεια tης f για να παίζεις με όρια και παρόμοια πράματα.Θα μπορούσαν κάλλιστα να βάλουν μια γραμμική με σχέσεις πινάκων που παίζει πάρα πολύ στον IMC.Αnyway,καλά αποτελέσματα σε όσους έδωσαν!

AlexandrosG · #13

Και το 2 έχει μπει στον Putnam. Τελικά για το 4 έκανα λάθος, δεν έχει καμμία σχέση με αυτό που σου έλεγα Βασίλη από το mathlinks. Η άποψή μου είναι ότι καλό είναι μερικά από τα θέματα να είναι γνωστά και λίγο αλλαγμένα. Τότε εξετάζονται οι γνώσεις και η ικανότητα να τις διαχειρίζεσαι. Εξάλλου ακόμη και στον IMC τα θέματα δεν είναι όλα πρωτότυπα. Ηλία ωραία λύση στην συναρτησιακή. Καλά αποτελέσματα παιδιά!

Nick1990 · #14

billy_scabilly έγραψε:το 3 εκτός λογικής ΙΜC,ήταν περισσότερο ΙΜΟ,καθώς δεν έλεγε τίποτα για συνέχεια tης f για να παίζεις με όρια και παρόμοια πράματα.

Κοιτα Βασιλη εγω στο ειπα και μετα το διαγωνισμο... δεν υπαρχει προβλημα λογικης IMC και προβλημα λογικης IMO. Απο τη στιγμη που οι κινησεις που απαιτουνται ειναι κινησεις που μπορει να σκευτει καποιος, και απο τη στιγμη που δεν ειναι ιδιαιτερα ευκολο, καλα κανει και μπαινει. Δεν ειναι πανελληνιες εξετασεις να παραπονιετε καποιος οτι το θεμα ειναι "εκτως κλιματος", ειναι διαγωνισμος που θελει να εξετασει το ποσο ποιοτικα σκευτεσε για να αντιμετοπισεις ενα οποιοδηποτε μαθηματικο προβλημα το οποιο ειναι δυσκολο αλλα η λυση του βασιζετε σε πραγματα που ξερεις και σε μια συγκεκριμενη θεωρια (και οταν λεω θεωρια, ενωω θεωρηματα απο διαφορα πεδια, και οχι στρατηγικες του στυλ: δειχνουμε οτι υπαρχει ριζα και τη χρησημοποιουμε καταλληλα για να φτασουμε σε μια απλουστερη συναρτησιακη σχεση).

Και για την ιστορια, εχουν μπει τετοιου ειδους προβληματα σε πανεπιστημιακους διαγωνισμους αρκετες φορες, και 2-3 φορες και στον IMC, για παραδειγμα το 5ο προβλημα εδω: http://www.imc-math.org.uk/imc2001/prob_sol2.pdf

#15

Έχει κάποιος λύση για την 5;

Καλή επιτυχία!

lemonidas · #16

socrates έγραψε:Έχει κάποιος λύση για την 5;

Καλή επιτυχία!

Παραθέτω σε hide τη λύση για τα α,β που έκανα στο διαγωνισμό (το γ μπορεί και να βγαίνει έτσι αλλά δεν μου βγήκε λόγω ώρας..)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Είναι κάτι μεταξύ κατασκευαστικής-αλγοριθμικής-επαγωγικής λύσης

α) Έστω

. Κρατάμε το 1 στο M'. Στη συνέχεια, αρχίζοντας από το 2 και συνεχίζοντας μέχρι το κ, προχωράμε στο επαναληπτικό βήμα:
Αν η συνθήκη για το j-οστό στοιχείο ικανοποιείται τότε το κρατάμε, αλλιώς το "πετάμε" από το σύνολο.
Με αυτόν τον τρόπο το τελικό σύνολο ικανοποιεί τις δοσμένες ιδιότητες, διότι ο έλεγχος για κάθε στοιχείο επηρρεάζεται αποκλειστικά από προηγούμενα στοιχεία (άθροισμα πάνω στα <J), οπότε αν αποφανθούμε για την ύπαρξη ενός στοιχείου στο M', η συνθήκη που επιτρέπει το αν το στοιχείο ανήκει στο Μ' δεν θα επηρρεαστεί και θα συνεχίσει να ισχύει και μετά τα k-1 βήματα.

β)Αντίστοιχη είναι και η λύση για το β. Παίρνουμε αρχικά σύνολα $F_1=M, F_2=F_3=...F_l=\emptyset$ , που ικανοποιούν όλες τις συνθήκες εκτός από αυτή του αθροίσματος. Επαγωγικά θα κατασκευάσουμε τα σύνολα ώστε να έχουν τη ζητούμενη ιδιότητα, κρατώντας αναλλοίωτες τις προηγούμενες που μας ενδιαφέρουν (ξένα, ένωση το Μ).

Για κάθε j, από το μικρότερο στο μεγαλύτερο αρχίζουμε και ελέγχουμε αν ισχύει η συνθήκη για αυτό. Αν ισχύει το κρατάμε και θα παραμείνει στο σύνολο αυτό (για τους ίδιους λόγους με το α). Αν δεν ισχύει, τότε επιλέγουμε για το που θα τοποθετηθεί από τα υπόλοιπα σύνολα, αρχίζοντας από το επόμενο και ελέγχοντας τη συνθήκη. Αν αποδείξουμε ότι μια τέτοια τοποθέτηση είναι πάντοτε εφικτή (σε μικρότερο από l σύνολα), το πρόβλημα λύθηκε.

Έστω λοιπόν ότι δεν γίνεται. Τότε $\sum_{i<j, i \in F_q} p_j(i) \geq \epsilon \forall q=1,...l$ Αθροίζοντας όλες τις σχέσεις, λόγω πληρότητας ως προς τα 1,...j-1 στα σύνολα F_1,..F_l

παίρνουμε $\sum_{i=1}^{j-1}p_j(i) \geq l \epsilon$ Επιλέγουμε τώρα το μέγιστο l, κι έχουμε
$\sum_{i=1}^{j-1} p_j(i)\geq \epsilon \lfloor \frac {1} {\epsilon} \rfloor > 1$
Άτοπο λόγω της συνθήκης αθροίσματος. Άρα μια τέτοια κατασκευή είναι πάντα εφικτή και κατασκευάσαμε ένα σύνολο με τις ζητούμενεςσ ιδιότητες.

Τέλος, για το γ μια τέτοια προσέγγιση δεν δουλεύει (ή τουλάχιστον δεν μπορώ να δω εγώ πως). Οπότε σκέφτηκα να το πάω "ανάποδα" με την έννοια αρχίζω από τα σύνολα $F_j={j} \forall j=1,...k$ και να διαγράφω σύνολα τοποθετώντας τα στοιχεία, αλλά δεν το έχω επεξεργαστεί για να δω αν δουλεύει..

#17

Ωχ, τώρα κατάλαβα τι ζητούσε η 5

Και εγώ νόμιζα ότι $e = 2.718\ldots$

lemonidas · #18

Βγηκαν!

Συγνώμη για την (τραγική) ποιότητα της φωτογραφίας αλλά είναι από κινητό.. Συγχαρητήρια σε όλους!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Dimitris X · #19

Συγχαρητήρια σε όλους και ιδιαίτερα στον Νίκο Κολιόπουλο που τον έχω γνωρίσει τα τελευταία χρόνια μέσα από τα forums......

Ilias_Zad · #20

Συγχαρητήρια και απο μένα σε όλους.

Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 2010

Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 2010

Re: Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 201

Re: Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 201

Re: Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 201

Re: Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 201

Re: Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 201

Re: Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 201

Re: Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 201

Re: Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 201

Re: Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 201

Re: Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 201

Re: Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 201

Re: Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 201

Re: Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 201

Re: Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 201

Re: Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 201

Re: Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 201

Re: Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 201

Re: Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 201

Re: Προκριματικος Διαγωνισμος ΕΜΠ για τον διαγωνισμο IMC 201

Μέλη σε σύνδεση