Putnam 2017/A3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7519
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Putnam 2017/A3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Δεκ 04, 2017 10:31 am

Έστω πραγματικοί αριθμοί a,b, με a<b, και διακεκριμένες συνεχείς συναρτήσεις f,g από το [a,b] στο (0,\infty) ώστε \displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x

Για θετικό ακέραιο n, ορίζουμε

\displaystyle I_n=\int_a^b\frac{(f(x))^{n+1}}{(g(x))^n}\,\mathrm{d}x.

Να δειχθεί ότι η ακολουθία (I_n) είναι αύξουσα και \displaystyle\lim_{n\to\infty}I_n=\infty.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1506
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Putnam 2017/A3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Δεκ 05, 2017 6:38 pm

Demetres έγραψε:
Δευ Δεκ 04, 2017 10:31 am
Έστω πραγματικοί αριθμοί a,b, με a<b, και διακεκριμένες συνεχείς συναρτήσεις f,g από το [a,b] στο (0,\infty) ώστε \displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x

Για θετικό ακέραιο n, ορίζουμε

\displaystyle I_n=\int_a^b\frac{(f(x))^{n+1}}{(g(x))^n}\,\mathrm{d}x.

Να δειχθεί ότι η ακολουθία (I_n) είναι αύξουσα και \displaystyle\lim_{n\to\infty}I_n=\infty.
Θα δώσω μια λύση για την γενικότερη περίπτωση.

Δηλαδή υποθέτουμε ότι οι f,g είναι μετρήσιμες ,παίρνουν τιμές στο (0,\infty) ,δεν είναι ίσες σχεδόν παντού και
είναι φραγμένες άνω για να μην μπορούν τα ολοκληρώματα να απειρίζονται.
(εννοείται ότι τα ολοκληρώματα είναι με την έννοια του Lebesgue)
Επίσης όλα τα σύνολα που ορίζονται παρακάτω είναι μετρήσιμα.

Τα σύνολα A=\left \{ x:f(x)> g(x) \right \},B=\left \{ x:f(x)< g(x) \right \}

έχουν μη μηδενικό μέτρο αφού οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες σχεδόν παντού και

\int f=\int g
(στα ολοκληρώματα παραλείπω τα x)

i)Είναι \int \frac{f^{n+1}}{g^{n}}> \int \frac{f^{n}}{g^{n-1}}\Leftrightarrow \int (\frac{f}{g})^{n}(f-g)> 0

Αλλά
\int (\frac{f}{g})^{n}(f-g)=\int _{A}(\frac{f}{g})^{n}(f-g)+\int _{B}(\frac{f}{g})^{n}(f-g)> \int _{A}(f-g)+\int _{B}(f-g)=\int f-g=0

γιατί στο B είναι (\frac{f}{g})^{n}< 1,f-g< 0.

Η απόδειξη του i) ολοκληρώθηκε


ii)Γράφουμε I_{n}=\int \frac{f^{n+1}}{g^{n}}=\int (\frac{f}{g})^{n}f

Είναι A=\left \{ x:f(x)> g(x) \right \}=\cup_{q\in \mathbb{Q},q> 1}\left \{ x:f(x)> qg(x) \right \}

Επειδή το A εχει θετικό μέτρο υπάρχει a\in \mathbb{Q},a> 1

ώστε το \left \{ x:f(x)> ag(x) \right \} να έχει θετικό μέτρο.

Αλλά \left \{x:f(x)> ag(x) \right \}=\left \{x:f(x)> ag(x) \right \}\cap \left \{ x:f(x)> 0 \right \}=\left \{x:f(x)> ag(x) \right \}\cap (\cup _{p\in \mathbb{Q},p> 0}\left \{ x:f(x)> p \right \})=
=\cup _{p\in \mathbb{Q},p> 0}\left \{ x:f(x)> ag(x)\wedge f(x)> p \right \}

άρα υπάρχει b\in \mathbb{Q},b> 0

ώστε το σύνολο

C=\left \{ x:f(x)> ag(x)\wedge f(x)> b \right \}

να έχει θετικό μέτρο.

Τελικά είναι I_{n}\geq \int _{C}(\frac{f}{g})^{n}f\geq a^{n}bm(C)\rightarrow \infty

Δεν έβαλα άκρα ολοκλήρωσης γιατί με κάποιες προυποθέσεις ισχύει και για μη κλειστά διαστήματα.


panos99
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Παρ Ιούλ 19, 2013 2:58 am

Re: Putnam 2017/A3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panos99 » Τετ Δεκ 06, 2017 6:34 pm

Το ίδιο πρόβλημα τέθηκε στην RNMO 2003 με μοναδική διαφορά ότι τα ολοκληρώματα ήταν από 0 έως 1.


Παπαδόπουλος Παναγιώτης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7519
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Putnam 2017/A3

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Δεκ 07, 2017 11:03 am

Παναγιώτη, ευχαριστούμε για την πληροφόρηση. Το RNMO τι συμβολίζει; Romanian National Mathematical Olympiad, ή μήπως κάτι άλλο;


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9665
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Putnam 2017/A3

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 08, 2017 9:19 pm

Demetres έγραψε:
Δευ Δεκ 04, 2017 10:31 am
Έστω πραγματικοί αριθμοί a,b, με a<b, και διακεκριμένες συνεχείς συναρτήσεις f,g από το [a,b] στο (0,\infty) ώστε \displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x

Για θετικό ακέραιο n, ορίζουμε

\displaystyle I_n=\int_a^b\frac{(f(x))^{n+1}}{(g(x))^n}\,\mathrm{d}x.

Να δειχθεί ότι η ακολουθία (I_n) είναι αύξουσα και \displaystyle\lim_{n\to\infty}I_n=\infty.

Αλλιώς: Θεωρούμε την αληθή ανισότητα f^2+g^2\ge 2fg , με την παρατήρηση ότι σε κάποιο σημείο η ανισότητα πρέπει να είναι γνήσια γιατί οι f,g δεν ταυτίζονται. Πολλαπλασιάζουμε επί \displaystyle{\frac {f^n}{g^{n+1}} } και ολοκληρώνουμε. Δίνει

\displaystyle{ I_{n+1} + I_{n-1} > 2 I_n} (γνήσια ανισότητα λόγω της παρατήρησης και το γεγονός ότι έχουμε να κάνουμε με συνεχείς συναρτήσεις).

Άρα \displaystyle{ I_{n+1} - I_n >  I_{n} - I_{n-1} } και επαγωγικά I_{n+1} - I_n > I_1-I_0> \int _a^b(f-g)=0 . Ειδικά, \displaystyle{ I_{n+1} > I_n  }, που απαντά στο πρώτο ερώτημα.

Πρόσθεση κατά μέλη των \displaystyle{ I_{n+1} - I_n >  I_{1} - I_{0} >0} δίνει I_{n+1} - I_1> n(I_1-I_0), που απαντά στο δεύτερο ερώτημα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες