Σύνολο τιμών τριγωνομετρικής
Συντονιστής: Demetres
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Σύνολο τιμών τριγωνομετρικής
Τα βασικά βήματα μιας λύσης:
Αν , αρκεί να βρεθούν τα σημεία στα οποία η συνάρτηση , υπό την συνθήκη , παρουσιάζει ολικό ελάχιστο και ολικό μέγιστο. Επειδή το είναι συμπαγές, η συνεχής και , αυτά τα ολικά ακρότατα υπάρχουν.
Με την μέθοδο πολλαπλασιαστών Lagrange, στο ανοικτό σύνολο προσδιορίζεται ένα μοναδικό σημείο, το , σαν υποψήφιο ακρότατο.
Απομένει να εξετάσουμε για εύρεση πιθανών ακροτάτων το σύνορο .
Εύκολα διαπιστώνεται ότι τα μοναδικά σημεία του που ικανοποιούν και την εξίσωση είναι τα και . Επειδή και , έπεται ότι το ζητούμενο σύνολο τιμών είναι το .
Αν , αρκεί να βρεθούν τα σημεία στα οποία η συνάρτηση , υπό την συνθήκη , παρουσιάζει ολικό ελάχιστο και ολικό μέγιστο. Επειδή το είναι συμπαγές, η συνεχής και , αυτά τα ολικά ακρότατα υπάρχουν.
Με την μέθοδο πολλαπλασιαστών Lagrange, στο ανοικτό σύνολο προσδιορίζεται ένα μοναδικό σημείο, το , σαν υποψήφιο ακρότατο.
Απομένει να εξετάσουμε για εύρεση πιθανών ακροτάτων το σύνορο .
Εύκολα διαπιστώνεται ότι τα μοναδικά σημεία του που ικανοποιούν και την εξίσωση είναι τα και . Επειδή και , έπεται ότι το ζητούμενο σύνολο τιμών είναι το .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σύνολο τιμών τριγωνομετρικής
Ωραιότατα.
Υπάρχει λύση και με ύλη μόνο Λυκείου.
Έβαλα το ερώτημα στον φάκελο των ΑΕΙ για να μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πολλαπλασιαστές Lagrange, έχω όμως και δεύτερη λύση στοιχειωδέστερη. Θα την γράψω αν χρειαστεί.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Σύνολο τιμών τριγωνομετρικής
Λύνουμε ως προς και έχουμε
Ετσι είναι
Εύκολα βρίσκουμαι ότι
Παραγωγίζωντας βρίσκουμε ότι η παράγωγος μηδενίζεται στο
στο με
Εκεί η συνάρτηση αναγκαστικά θα παίρνει την ελάχιστη τιμή της.
Ο υπολογισμός δίνει ότι αυτή είναι
Αρα το σύνολο τιμών είναι το
Να σημειώσω ότι η συνεχής και
παραγωγίσημη στο
Ετσι είναι
Εύκολα βρίσκουμαι ότι
Παραγωγίζωντας βρίσκουμε ότι η παράγωγος μηδενίζεται στο
στο με
Εκεί η συνάρτηση αναγκαστικά θα παίρνει την ελάχιστη τιμή της.
Ο υπολογισμός δίνει ότι αυτή είναι
Αρα το σύνολο τιμών είναι το
Να σημειώσω ότι η συνεχής και
παραγωγίσημη στο
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σύνολο τιμών τριγωνομετρικής
Ας δούμε άλλη μία λύση.
Από Jensen είναι , άρα με ισότητα αν (που ικανοποιούν και την ).
Από την (απλή και γνωστή) ανισότητα έχουμε , από όπου με ισότητα αν (που ικανοποιούν και την ).
Και λοιπά, από συνέχεια της δοθείσας ως συνάρτησης μιάς μεταβλητής.
Re: Σύνολο τιμών τριγωνομετρικής
Θεωρούμε το πρώτο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου και σημεία επί του κύκλου ώστε το άθροισμα των προβολών τους στον χ'χ (1)
Το άθροισμα των γωνιών μεγιστοποιείται όταν το άθροισμα των τόξων και άρα των χορδών μεγιστοποιείται
Με χρήση του Πυθαγορίου και της σχέσης (1) καταλήγουμε (Εστω και το άθροισμα των χορδών )
Ελαχιστοποείται για και μεγιστοποείται για
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες