IMC 2017/2/3
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
IMC 2017/2/3
Ορίζουμε ακολουθία πινάκων με την ακόλουθη αναδρομική σχέση:
όπου είναι ο ταυτοτικός πίνακας.
Να δειχθεί ότι ο έχει διακεκριμένες ακέραιες ιδιοτιμές με πολλαπλότητες , αντίστοιχα.
όπου είναι ο ταυτοτικός πίνακας.
Να δειχθεί ότι ο έχει διακεκριμένες ακέραιες ιδιοτιμές με πολλαπλότητες , αντίστοιχα.
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMC 2017/2/3
Για ένα διάνυσμα , θα γράφουμε και .
Παρατηρούμε ότι αν το είναι ιδιοδυάνυσμα του με ιδιοτιμή , τότε το είναι ιδιοδυάνυσμα του με ιδιοτιμή , και το είναι ιδιοδυάνυσμα του με ιδιοτιμή .
Επίσης, αν τα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, τότε και τα είναι επίσης γραμμικώς ανεξάρτητα. Πράγματι αν
τότε, κοιτώντας το πρώτο μισό κομμάτι των διανυσμάτων, από την γραμμική ανεξαρτησία των θα πρέπει να έχουμε
Κοιτώντας το δεύτερο μισό θα πρέπει επίσης να έχουμε και
Από αυτά παίρνουμε ότι όντως τα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.
Επομένως αν είναι με πολλαπλότητα οι ιδιοτιμές του , τότε οι ιδιοτιμές του είναι οι .
Οι ιδιοτιμές του είναι οι και με πολλαπλότητα η κάθε μία. Επαγωγικά τώρα παίρνουμε ότι οι ιδιοτιμές του είναι οι όπου με πολλαπλότητα .
Πράγματι για το επαγωγικό βήμα παίρνουμε ότι ο θα έχει την ιδιοτιμή με πολλαπλότητα
Παρατηρούμε ότι αν το είναι ιδιοδυάνυσμα του με ιδιοτιμή , τότε το είναι ιδιοδυάνυσμα του με ιδιοτιμή , και το είναι ιδιοδυάνυσμα του με ιδιοτιμή .
Επίσης, αν τα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, τότε και τα είναι επίσης γραμμικώς ανεξάρτητα. Πράγματι αν
τότε, κοιτώντας το πρώτο μισό κομμάτι των διανυσμάτων, από την γραμμική ανεξαρτησία των θα πρέπει να έχουμε
Κοιτώντας το δεύτερο μισό θα πρέπει επίσης να έχουμε και
Από αυτά παίρνουμε ότι όντως τα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.
Επομένως αν είναι με πολλαπλότητα οι ιδιοτιμές του , τότε οι ιδιοτιμές του είναι οι .
Οι ιδιοτιμές του είναι οι και με πολλαπλότητα η κάθε μία. Επαγωγικά τώρα παίρνουμε ότι οι ιδιοτιμές του είναι οι όπου με πολλαπλότητα .
Πράγματι για το επαγωγικό βήμα παίρνουμε ότι ο θα έχει την ιδιοτιμή με πολλαπλότητα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες